第二讲 空间角与距离的向量解法[知识梳理][知识盘点]1.利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的夹角范围:两条异面直线所成的夹角的取值范围是 。向量求法:设直线的方向向量为,其夹角为,则有(2)直线与平面所成的角定义:直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。范围:直线和平面所夹角的取值范围是 。向量求法:设直线 的方向向量为,平面的法向量为,直线与法向量所成角的余弦值为直线与平面所成的角为,则有或在平面内任取一个向量,则.(3)二面角二面角的取值范围是 .二面角的向量求法:方法一:在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量,则这两个向量所成的 即为所求的二面角的大小;方法二:设,分别是两个面的 ,则向量与的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。2.利用空间向量求空间距离(1)点面距离的向量公式平面的法向量为 n,点 P 是平面外一点,点 M 为平面内任意一点,则点 P 到平面的距离 d 就是 ,即 d=.(2)线面、面面距离的向量公式平面∥直线 l,平面的法向量为 n,点 M∈、P∈l,平面与直线 l 间的距离 d就是在向量 n 方向射影的绝对值,即 d= .平面∥β,平面的法向量为 n,点 M∈、P∈β,平面与平面 β 的距离 d 就是在向量 n 方向射影的绝对值,即 d=.(3)异面直线的距离的向量公式设向量 n 与两异面直线 a、b 都垂直,M∈a、P∈b,则两异面直线 a、b 间的距离 d 就是在向量 n 方向射影的绝对值,即 d=.[特别提醒]1.本讲知识是利用代数化方法研究几何问题,向量运算分为向量法与坐标法两类,以通过向量运算推理,去研究几何元素的位置关系为重点.利用两个向量(非零)垂直数量积为零,可证明空间直线垂直;利用数量积可计算两异面直线的夹角,可求线段的长度;运用共面向量定理可证点共面、线面平行等;利用向量的射影、平面的法向量,可求点面距线面角、异面直线的距离等.2.利用向量解立体几何问题,要仔细分析问题特点,把已知条件用向量表示,把一些待求的量用基向量或其他向量表示,将几何的位置关系的证明问题或数量关系的运算问题转化为典型的向量运算,以算代证,以值定形.这种方法可减少复杂的空间结构分析,使得思路简捷、方法清晰、运算直接,能迅速准确地解决问题.3.线线垂直、两异面直线的夹角、两点间的距离等问题的解决往往借助于向量坐标.正方体、长方体、底面有一角为直角的直棱柱、底面为菱形的直四棱柱、四...