第三章 空间向量与立体几何第一讲 空间向量及其运算[知识梳理]［知识盘点］1． 大小和方向 同一向量 相等向量 2． 直线平行或重合 存在实数，使 方向向量3． 同一平面 4． 5． 6． 向量垂直于平面 法向量 [基础闯关]1．D 2．B 3．A 4．D 5． 6．[典例精析]变式训练：1．解：如图所示,连结,则,故.)由已知, 分成的比为 2,故==)于是=()+()=.2.(1)证明:设,则.C1CD1B1A1NMDBA,=0⊥BD;(2)连结,设,连结,则为二面角的平面角.(),=()-())-]=()=,.3.解：（1）如图所示，连结，则由共面向量基本定理的推论可知四点共面。（2），又平面平面平面。（3）连结，由（2）可知，同理所以，同理可得交于同一点且被平分，DGCHMFOBEA4.解:（1）设侧棱长为 b,则 A(0,-1,0), B1( ,0,b), B(,0,0), C1(0,1,b) ={,1,b}, ={-,1,b} AB1 ⊥AB1 ∴ -3+1+b2=0, b=（2） （3） 设异面直线 AM 与 BC 所成角为， ， ,∴=9005．解：以 D 为原点建立如图所示的坐标系， 设存在点 P（0，0，z），6．解:(1)设,则由题意有:,即.(2)若存在向量与的方向向量共线,则,又,= （ － a ， 0 ， z ） ，= （ －a，a，0）， =（a，a，a）， B1D⊥面 PAC，∴·=0，·=0.∴－a2+az=0.∴z=a，即点 P 与 D1重合.∴点 P 与 D1重合时，DB1⊥面 PAC.,这显然是不可能的,所以不存在满足题意的向量. [能力提升]1．C 2．B 3．A 4．B 5．C 6．3a+3b－5c 7．1 或 3 8． 9．0,010 ． （ 1 ） 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 设， 则. 由得： 由 CP⊥BD，得： ,所以点 P 为的中点时，有 CP⊥BD （2）过 D 作 DE⊥B1C1，垂足为 E，易知 E 为 D 在平面上的射影 ∴∠DPE 为 DP 与平面所成的角 由（1），P（4，0，z），得：.即 DP 与面所成的角的余弦值为.11. 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 D—xyz ， 则B（1，1，0），E（1/2，1，1），F（0，1/2，1），设=zyxB1FD1A1DACEC1B（x，y，z）是平面 BDFE 的法向量，由⊥，⊥，=（1，1，0），=（0，1/2，1）得： ·= x+y=0 ·=1/2 y+ z=0所以：x= - y z= 令 y=1，得=（-1，1，1/2），设点 A 在平面 BDFE 上的射影为H，连结 A1D，A1D 是平面 BDFE 的斜线段，则： cos﹤，﹥=所以| cos﹤，﹥=1 所以点 A1到平面 BEFE 的距离为 1（3）由（2）知∠D A1H=45°，∠A1DH 是直线 A1D...
