高考数学总复习几何证明选讲第1课时 相似三角形的进一步认识VIP免费

考情分析考点新知应用平行截割定理，相似三角形的判定定理与性质定理解决有关三角形问题．①理解平行截割定理，相似三角形的判定定理与性质定理，能运用它们解决三角形中的计算与证明问题.②了解直角三角形的射影定理.1.如图，△ABC中，DE∥BC,DF∥AC，AE∶AC＝3∶5，DE＝6，求BF的长．解：＝＝BC＝10，∴BF＝10－6＝4.2.如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD＝4，DB＝2，求DE与BC的长度比．解：因为DE∥BC，所以＝＝＝.3.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD.且AB＝2，AD＝，求AF的长．解：设AF＝x，则由＝＝，＝，解得x＝1.4.如图，四边形ABCD中，DF⊥AB，垂足为F，DF＝3，AF＝2FB＝2，延长FB到E，使BE＝FB.连结BD、EC，若BD∥EC，求△BCD和四边形ABCD的面积．解：S△BCD＝S△BDE＝·BE·DF＝×1×3＝，S四边形ABCD＝S△ADE＝·AE·DF＝×4×3＝6.5.如图，平行四边形ABCD中，AE∶EB＝1∶2，△AEF的面积为6，求△ADF的面积．解：由题意可得△AEF∽△CDF，且相似比为1∶3，由△AEF的面积为6，得△CDF的面积为54.又S△ADF∶S△CDF＝1∶3，所以S△ADF＝18.1.平行截割定理(1)平行线等分线段定理及其推论①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．②推论：经过梯形一腰的中点而平行于底边的直线平分另一腰．(2)平行截割定理及其推论①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形的边与原三角形的对应边成比例．(3)三角形角平分线的性质三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．(4)梯形的中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．2.相似三角形(1)相似三角形的判定①判定定理a.两角对应相等的两个三角形相似．b.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．c.三边对应成比例的两个三角形相似．②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．③直角三角形相似的特殊判定．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．(2)相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．(3)直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．[备课札记]题型1平行线分线段成比例问题例1如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，E是AB边的中点，求证：ED＝EC.证明：如图，过E点作EF∥BC交DC于点F.在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥EF∥BC. E是AB的中点，∴F是DC的中点． ∠ADC＝90°，∴∠DFE＝90°.∴EF是DC的垂直平分线，∴ED＝EC.如图，在△ABC中，作直线DN平行于中线AM，设这条直线交边AB于点D，交边CA的延长线于点E，交边BC于点N.求证：AD∶AB＝AE∶AC.证明： AM∥EN，∴AD∶AB＝NM∶MB，NM∶MC＝AE∶AC. MB＝MC，∴AD∶AB＝AE∶AC.题型2三角形相似的证明与应用例2已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E.求证：(1)△ABC≌△DCB；(2)DE·DC＝AE·BD.证明：(1) 四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB. AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD.(2) △ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB， AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC. ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC，∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB.∴△ADE∽△CBD.∴DE∶BD＝AE∶CD，∴DE·DC＝AE·BD.如图，在矩形ABCD中，AB>·AD，E为AD的中点，连结EC，作EF⊥EC，且EF交AB于F，连结FC.设＝k，是否存在实数k，使△AEF、△ECF、△DCE与△BCF都相似？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．解：假设存在实数k的值，满足题设．①先证明△AEF∽△DCE∽△ECF.因为EF⊥EC，所以∠AEF＝90°－∠DEC＝∠DCE.而∠A＝∠D＝90°，故△AEF∽△DCE.故得＝.又DE＝EA，所以＝.又∠CEF＝∠EAF＝90°，所以△AEF∽△ECF.②再证明可以取到实数k的值，使△AEF∽△BCF，由于∠AFE＋∠BFC≠90°，故不可能有∠AFE＝∠BFC，因此要使△AEF∽△...