考情分析考点新知①掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算.②求二阶矩阵的特征值和特征向量，利用特征值和特征向量进行矩阵运算．①理解逆矩阵的意义，掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算.②会求二阶矩阵的特征值和特征向量，会利用矩阵求解方程组．会利用特征值和特征向量进行矩阵运算.1.设M＝，N＝，求MN.解：MN＝＝.2.已知矩阵M＝，若矩阵M的逆矩阵M－1＝，求a、b的值．解：由题意，知MM－1＝E，＝，即＝，即解得a＝5，b＝3.3.求矩阵的特征多项式．解：f(λ)＝＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4.4.(选修42P73习题第1题改编)求矩阵M＝[]的特征值．解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ＋2)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得M的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.5.(选修42P73习题第1题改编)求矩阵N＝的特征值及相应的特征向量．解：矩阵N的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－8)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得N的特征值为λ1＝－3，λ2＝8，当λ1＝－3时一个解为故特征值λ1＝－3的一个特征向量为；当λ2＝8时一个解为故特征值λ2＝8的一个特征向量为.1.逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.(3)利用行列式解二元一次方程组．2.特征值与特征向量(1)设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．(2)从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量．[备课札记]题型1求逆矩阵与逆变换例1用解方程组的方法求下列矩阵M的逆矩阵．(1)M＝；(2)M＝.解：(1)设M－1＝，则由定义知＝，即解得故M－1＝.(2)设M－1＝，则由定义知＝，即解得故M－1＝.已知矩阵M＝所对应的线性变换把点A(x，y)变成点A′(13，5)，试求M的逆矩阵及点A的坐标．解：依题意，由M＝，得|M|＝1，则M－1＝.从而由＝，得＝＝＝，故∴A点坐标为(2，－3)．题型2求特征值与特征向量例2已知矩阵M＝，其中a∈R，若点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点P′(－4，0)．(1)求实数a的值；(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．解：(1)由＝，得2－2a＝－4a＝3.(2)由(1)知M＝，则矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为－1与4.当λ＝－1时，x＋y＝0，∴矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为；当λ＝4时，2x－3y＝0.∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为.已知M＝，β＝，计算M5β.解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝，α2＝.令β＝mα1＋nα2，则m＝4，n＝－3.M5β＝M5(4α1－3α2)＝4(M5α1)－3(M5α2)＝4(λα1)－3(λα2)＝4×35－3×(－1)5＝.题型3根据特征值或特征向量求矩阵例3矩阵M＝有特征向量为e1＝，e2＝，(1)求e1和e2对应的特征值；(2)对向量α＝，记作α＝e1＋3e2，利用这一表达式间接计算M4α，M10α.解：(1)设向量e1、e2对应的特征值分别为λ1、λ2，则＝λ1，＝λ2，故λ1＝2，λ2＝1，即向量e1，e2对应的特征值分别是2，1.(2)因为α＝e1＋3e2，所以M4α＝M4(e1＋3e2)＝M4e1＋3M4e2＝λe1＋3λe2＝，M10α＝M10(e1＋3e2)＝M10e1＋3M10e2＝λe1＋3λe2＝.已知矩阵M＝有特征向量e1＝，e2＝，相应的特征值为λ1，λ2.(1)求矩阵M的逆矩阵M－1及λ1，λ2；(2)对任意向量α＝，求M100α.解：(1)由矩阵M＝变换的意义知M－1＝，又Me1＝λ1e1，即＝λ1，故λ1＝2，同理Me2＝λ2e2，即＝λ2，故λ2＝－1.(2)因为α＝＝xe1＋ye2，所以M100α＝M100(xe1＋y·e2)＝xM100e1＋yM100e2＝xλe1＋yλ2100e2＝.1.求函数f(x)＝的值域．解：f(x)＝－2－sinxcosx＝－2－sin2x∈.2.已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求矩阵A的特征值．解： A－1A＝E，∴A＝(A－1)－1. A－1＝，∴A＝(A－1)－1＝.∴矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝...
