考情分析考点新知①掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件,并能进行矩阵的运算.②求二阶矩阵的特征值和特征向量,利用特征值和特征向量进行矩阵运算.①理解逆矩阵的意义,掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件,并能进行矩阵的运算.②会求二阶矩阵的特征值和特征向量,会利用矩阵求解方程组.会利用特征值和特征向量进行矩阵运算.1.设M=,N=,求MN.解:MN==.2.已知矩阵M=,若矩阵M的逆矩阵M-1=,求a、b的值.解:由题意,知MM-1=E,=,即=,即解得a=5,b=3.3.求矩阵的特征多项式.解:f(λ)==(λ-1)(λ-2)+2=λ2-3λ+4.4.(选修42P73习题第1题改编)求矩阵M=[]的特征值.解:矩阵M的特征多项式为f(λ)==(λ+2)·(λ+3)=0,令f(λ)=0,得M的特征值为λ1=-2,λ2=-3.5.(选修42P73习题第1题改编)求矩阵N=的特征值及相应的特征向量.解:矩阵N的特征多项式为f(λ)==(λ-8)·(λ+3)=0,令f(λ)=0,得N的特征值为λ1=-3,λ2=8,当λ1=-3时一个解为故特征值λ1=-3的一个特征向量为;当λ2=8时一个解为故特征值λ2=8的一个特征向量为.1.逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A、B,若有AB=BA=E,则称A是可逆的,B称为A的逆矩阵.(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵,则AB也存在逆矩阵,且(AB)-1=B-1A-1.(3)利用行列式解二元一次方程组.2.特征值与特征向量(1)设A是一个二阶矩阵,如果对于实数λ,存在一个非零向量α,使Aα=λα,那么λ称为A的一个特征值,而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量.(2)从几何上看,特征向量的方向经变换矩阵A的作用后,保持在同一条直线上,这时特征向量或者方向不变(λ>0),或者方向相反(λ<0).特别地,当λ=0时,特征向量就变换成零向量.[备课札记]题型1求逆矩阵与逆变换例1用解方程组的方法求下列矩阵M的逆矩阵.(1)M=;(2)M=.解:(1)设M-1=,则由定义知=,即解得故M-1=.(2)设M-1=,则由定义知=,即解得故M-1=.已知矩阵M=所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A′(13,5),试求M的逆矩阵及点A的坐标.解:依题意,由M=,得|M|=1,则M-1=.从而由=,得===,故∴A点坐标为(2,-3).题型2求特征值与特征向量例2已知矩阵M=,其中a∈R,若点P(1,-2)在矩阵M的变换下得到点P′(-4,0).(1)求实数a的值;(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.解:(1)由=,得2-2a=-4a=3.(2)由(1)知M=,则矩阵M的特征多项式为f(λ)==(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4.令f(λ)=0,得矩阵M的特征值为-1与4.当λ=-1时,x+y=0,∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为;当λ=4时,2x-3y=0.∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为.已知M=,β=,计算M5β.解:矩阵M的特征多项式为f(λ)==λ2-2λ-3.令f(λ)=0,解得λ1=3,λ2=-1,从而求得对应的一个特征向量分别为α1=,α2=.令β=mα1+nα2,则m=4,n=-3.M5β=M5(4α1-3α2)=4(M5α1)-3(M5α2)=4(λα1)-3(λα2)=4×35-3×(-1)5=.题型3根据特征值或特征向量求矩阵例3矩阵M=有特征向量为e1=,e2=,(1)求e1和e2对应的特征值;(2)对向量α=,记作α=e1+3e2,利用这一表达式间接计算M4α,M10α.解:(1)设向量e1、e2对应的特征值分别为λ1、λ2,则=λ1,=λ2,故λ1=2,λ2=1,即向量e1,e2对应的特征值分别是2,1.(2)因为α=e1+3e2,所以M4α=M4(e1+3e2)=M4e1+3M4e2=λe1+3λe2=,M10α=M10(e1+3e2)=M10e1+3M10e2=λe1+3λe2=.已知矩阵M=有特征向量e1=,e2=,相应的特征值为λ1,λ2.(1)求矩阵M的逆矩阵M-1及λ1,λ2;(2)对任意向量α=,求M100α.解:(1)由矩阵M=变换的意义知M-1=,又Me1=λ1e1,即=λ1,故λ1=2,同理Me2=λ2e2,即=λ2,故λ2=-1.(2)因为α==xe1+ye2,所以M100α=M100(xe1+y·e2)=xM100e1+yM100e2=xλe1+yλ2100e2=.1.求函数f(x)=的值域.解:f(x)=-2-sinxcosx=-2-sin2x∈.2.已知矩阵A的逆矩阵A-1=,求矩阵A的特征值.解: A-1A=E,∴A=(A-1)-1. A-1=,∴A=(A-1)-1=.∴矩阵A的特征多项式为f(λ)==λ2-3λ-4.令f(λ)=...