7.4.2 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题必备知识精要梳理1.圆锥曲线的弦长(1)直线方程的设法,已知直线过定点(x0,y0),设直线方程为 y-y0=k(x-x0),若已知直线的纵截距为(0,b),设直线方程为 y=kx+b,若已知直线的横截距为(a,0),设直线方程为 x=ty+a;(2)弦长公式,斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于点 A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|=❑√1+k2·|x1-x2|=❑√1+ 1k2|y1-y2|,如何求|x1-x2|,若 x1,x2是 ax2+bx+c=0 的两根,x1+x2=-ba,x1x2=ca,方法一:|x1-x2|=❑√( x1+ x2)2- 4 x1x2;方法二:利用求根公式,|x1-x2|= - b+❑√ Δ2a−-b- ❑√ Δ2a=❑√ Δ|a|.2.处理中点弦问题常用的求解方法(1)已知 AB 是椭圆 x2a2 + y2b2=1(a>b>0)的一条弦,其中点 M 的坐标为(x0,y0).运用点差法求直线 AB 的斜率,设 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2), A,B 都在椭圆上,则有{x12a2+ y12b2 =1,x22a2+ y22b2 =1,两式相减得x12- x22a2+ y12- y22b2=0,∴( x1+x2)( x1- x2)a2+( y1+ y2)( y1- y2)b2=0,∴ y1- y2x1- x2=- b2( x1+x2)a2( y1+ y2)=-b2x0a2 y0,故 kAB=-b2x0a2 y0.(2)已知 AB 是双曲线 x2a2− y2b2=1(a>0,b>0)的一条弦,且 A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,弦的中点M(x0,y0),则用点差法同理可得 kAB=b2x0a2 y0.(3)已知 AB 是抛物线 y2=2px(p>0)的一条弦,且 A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,弦的中点 M(x0,y0),则{y12=2 p x1,y22=2 p x2,两式相减得y12−y22=2p(x1-x2),∴(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),∴ y1- y2x1- x2= 2 py1+ y2= py0,即 kAB= py0.3.圆锥曲线中常见的最值、范围、证明问题(1)求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个函数的值域确定目标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件,把需要的量都用我们选用的变量表示,有时为了运算的方便,在建立关系的过程中也可以采用多个变量,只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可,同时要特别注意变量的取值范围.(2)圆锥曲线中常见的最值问题及解题方法① 两类最值问题:(ⅰ)涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;(ⅱ)求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关的一些问题.② 两种常见解法:(ⅰ)几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;(ⅱ)代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,...
