4.2 数列大题4.2.1 等差、等比数列的综合问题必备知识精要梳理1.判断给定的数列{an}是等差数列的方法(1)定义法:an+1-an=d 是常数(n∈N*).(2)通项公式法:an=kn+b(k,b 是常数).(3)前 n 项和法:数列{an}的前 n 项和为 Sn=An2+Bn(A,B 是常数且 A2+B2≠0).(4)等差中项法:an+an+2=2an+1(n∈N*).2.若数列{an},{bn}为等差数列且项数相同,则{kan},{an±bn},{pan+qbn}都是等差数列.3.判断给定的数列{an}是等比数列的方法(1)定义法:an+1an=q(常数 q≠0).(2)通项公式法:an=kqn(k,q 为常数,且 kq≠0).(3)中项法:an·an+2=an+12 (n∈N*).(4)前 n 项和法:数列{an}的前 n 项和为 Sn=A-Aqn(常数 A≠0,公比 q≠1).4.若数列{an},{bn}为等比数列且项数相同,则{kan}(k≠0),{an2},{anbn}都是等比数列.关键能力学案突破热点一等差(比)数列的判断与证明【例 1】(2020 山东淄博 4 月模拟,18)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=4an+3n-1,bn=an+n.(1)证明:数列{bn}为等比数列;(2)求数列{an}的前 n 项和.解题心得 1.判断数列是等差(比)数列的方法通常有四种,证明数列是等差(比)数列的方法常用定义法.2.对已知数列 an与 Sn的关系,证明{an}为等差或等比数列的问题,解题思路是:由 an与 Sn的关系递推出 n+1 时的关系式,两个关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明.【对点训练 1】(2019 全国Ⅱ,理 19)已知数列{an}和{bn}满足 a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;(2)求{an}和{bn}的通项公式.热点二等差数列的通项及求和【例 2】(2019 全国Ⅰ,文 18)记 Sn为等差数列{an}的前 n 项和.已知 S9=-a5.(1)若 a3=4,求{an}的通项公式;(2)若 a1>0,求使得 Sn≥an的 n 的取值范围.解题心得 a1,n,d 是等差数列的三个基本量,an和 Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,n,d,an,Sn中可“知三求二”,一般是通过通项公式和前 n 项和公式联立方程(组)求解,这种方法是解决数列问题的基本方法.【对点训练 2】(2020 海南天一大联考第三次模拟,17)对于由正整数构成的数列{An},若对任意 m,n∈N*且 m≠n,Am+An也是{An}中的项,则称{An}为“Q 数列”.设数列{an}满足a1=6,8≤a2≤12.(1)请给出一个{an}的通项公式,使得{an}既是等差数列也是“Q 数列”,并说明理由;(2)根据你给出的通项公式,设{an}的前 n 项和为 Sn,求满足 Sn>100 的正整数 n 的最小值.热点三等比数列的通项及求...
