课时分层作业三十数列的概念与简单表示法一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知数列的前4项为2,0,2,0,则归纳该数列的通项不可能是()A.an=(-1)n-1+1B.an=C.an=2sinD.an=cos(n-1)π+1【解析】选C.对于C,当n=3时,sin=-1,则a3=-2,与题意不符.2.已知数列,,2,,…,则2是这个数列的()A.第6项B.第7项C.第19项D.第11项【解析】选B.数列即:,,,,…,据此可得数列的通项公式为:an=,由=2,解得:n=7,即2是这个数列的第7项.3.设数列{an}满足a1=1,a2=3,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,则a20的值是()A.4B.4C.4D.4【解析】选D.由题知:an+1=,a3==,a4==4,a5==,a6==,故an=,所以a20===4.【变式备选】数列{an}满足:a1=1,且当n≥2时,an=an-1,则a5=()A.B.C.5D.6【解析】选A.因为a1=1,且当n≥2时,an=an-1,则=,所以a5=····a1=××××1=.4.(2018·西安模拟)设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为()A.15B.16C.49D.64【解析】选A.a8=S8-S7=82-72=15.5.(2018·银川模拟)已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+2,若对所有的n∈N*,都有an+1>an成立,则实数k的取值范围是()A.(0,+∞)B.(-1,+∞)C.(-2,+∞)D.(-3,+∞)【解析】选D.an+1>an,即(n+1)2+k(n+1)+2>n2+kn+2,则k>-(2n+1)对所有的n∈N*都成立,而当n=1时,-(2n+1)取得最大值-3,所以k>-3.6.(2018·北京模拟)数列{an}满足an+1(an-1-an)=an-1(an-an+1),若a1=2,a2=1,则a20=()A.B.C.D.【解题指南】数列{an}满足an+1(an-1-an)=an-1(an-an+1),展开化为+=,利用等差数列的通项公式得出.【解析】选C.数列{an}满足an+1(an-1-an)=an-1(an-an+1),展开化为+=.所以数列是等差数列,公差为-=,首项为.所以=+×19=10,解得a20=.7.(2018·黄冈模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n+2,则数列{an}的通项公式为()A.an=2n-3B.an=2n+3C.an=D.an=【解析】选C.当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-3,由于n=1时a1的值不适合n≥2的解析式,故通项公式为an=【巧思妙解】选C.当n=1时,a1=S1=1,A、B选项不合题意.又a2=S2-a1=1,所以D选项不合题意.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·长沙模拟)在数列{an}中,a1=1,an+1=(-1)n(an+1),记Sn为{an}的前n项和,则S2018=______.【解析】因为数列{an}满足a1=1,an+1=(-1)n(an+1),所以a2=-(1+1)=-2,a3=-2+1=-1,a4=-(-1+1)=0,a5=0+1=1,a6=-(1+1)=-2,a7=-2+1=-1,…,所以{an}是以4为周期的周期数列,因为2018=504×4+2,所以S2018=504×(1-2-1+0)+1-2=-1009.答案:-10099.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,…记为数列{an},则数列{an}的通项公式为________.【解析】由题干图可知,an+1-an=n+1,a1=1,由累加法可得an=.答案:an=10.(2018·合肥模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=3-3×2n,n∈N*,则an=________.【解析】(1)当n=1时,a1=S1=3-3×21=-3.(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3-3×2n)-(3-3×2n-1)=-3×2n-1.当n=1时也符合上式,综合(1)(2),得an=-3×2n-1.答案:-3×2n-11.(5分)(2018·衡水模拟)数列{an}满足a1=2,an+1=(an>0),则an=()A.B.2n-1C.4n-1D.2n【解析】选A.因为数列{an}满足a1=2,an+1=(an>0),所以log2an+1=2log2an⇒=2,所以{log2an}是公比为2的等比数列,所以log2an=log2a1·2n-1⇒an=.2.(5分)若数列{an}是正项数列,且++…+=n2+n,则a1++…+等于()A.2n2+2nB.n2+2nC.2n2+nD.2(n2+2n)【解析】选A.因为++…+=n2+n,所以n=1时,=2,解得a1=4,n≥2时,++…+=(n-1)2+n-1,相减可得=2n,所以an=4n2,n=1时也成立,所以=4n.则a1++…+=4(1+2+…+n)=4×=2n2+2n.3.(5分)(2018·郑州模拟)意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,即F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3,n∈N*),此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用,若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{bn},则b2018=________.【解析】由题意得,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….此数列被3整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,…构成以8为周期的周期数列,所以b2018=b2=1.答案:14.(12分)(2018·泰安模拟)设数列{an}的前n项...
