江苏省盐城市时杨中学 2014 届高考数学一轮复习 空间向量应用导学案 1【学习目标】1.了解空间向量的概念；2.掌握空间向量的运算；3.理解空间向量基本定理、向量的坐标表示及数量积；4.掌握空间向量共线、共面的充分必要条件。【问题情境】一、知识回顾：1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线 l 上的向量 e(e≠0)以及与 e 共线的非零向量叫做直线 l 的方向向量．(2)如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 α，那么称向量 n 垂直于平面 α，记作 n⊥α.此时，我们把向量 n 叫做平面 α 的法向量．2.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1∥l2(或 l1与 l2重合)⇔v1∥v2.(2)设直线 l 的方向向量为 v，与平面 α 共面的两个不共线向量 v1 和 v2，则l∥α 或 l⊂α⇔存在两个实数 x，y，使 v＝xv1＋yv2.(3)设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 u，则 l∥α 或 l⊂α⇔v⊥u.(4)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1，u2，则 α∥β⇔u1 ∥u2.3.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 u，则 l⊥α⇔v∥u.(3)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1和 u2，则 α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.二、预习练习：1.两条不重合直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1＝(1,0，－1)，v2＝(－20,2)，则 l1与 l2的位置关系是__________．2.已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，-3)，且BP⊥平面 ABC，则实数 x，y，z 分别为______________．3.已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面 ABC 的单位法向量为____________．4.若平面 α、β 的法向量分别为 n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则α、β 的位置关系为_ _____________．【我的疑问】备 注 第 1 页共 4 页 【自主探究】例 1 如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1中，M、N 分别是 C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面 A1BD. 例 2 如图，正三棱柱 ABC—A1B1C1的所有棱长都为 2，D 为 CC1的中点．求证：AB1⊥平面 A1BD. 例 3 如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E 为 CD 的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱 AA1上是否存在一点 P，使得 DP∥平面 B1AE？若存在，求 AP 的长；若不存在，说明理...
