江苏省盐城市时杨中学 2014 届高考数学一轮复习 空间向量应用导学案 2 【学习目标】1.用向量的方法求空间角的大小；2.用向量的方法求空间简单的距离。【问题情境】一、知识回顾：1.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线 l1，l2的方向向量分别为 m1，m2，则 l1与 l2所成的角 θ 满足 cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别为 m，n，则直线 l 与平面 α 所成角 θ 满足 sin θ＝|cos〈m，n〉|.(3)求二面角的大小1°如图①，AB、CD 是二面角 α—l—β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈AB，CD〉．2° 如 图 ② ③ ， n1 ， n2 分 别 是 二 面角 α—l—β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足 cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．2.点面距的求法如图，设 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则 B 到平面 α 的距离 d＝.二、预习练习：1.若平面 α 的一个法向量为 n＝(4,1,1)，直线 l 的一个方向向量为 a＝(－2，－3,3)，则 l 与 α 所成角的正弦值为________．2.若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹 角等于 120°，则直线 l 与平面α 所成的角等于________．3.从空间一点 P 向二面角 α—l—β 的两个面 α，β 分别作垂线 PE，PF，垂足分别为 E，F，若二面角 α—l—β 的大小为 60°，则∠EPF 的大小为__________．4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正方体 ABCO—A′B′C′D′，A备 注′C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为________．【我的疑问】 第 1 页共 4 页 【自主探究】例 1 如图，已知正方体 ABCD—A1B1C1D1的棱长为 2，点 E 是正方形 BCC1B1的中心，点 F、G 分别是棱 C1D1、AA1的中点，设点 E1、G1分别是点 E、G 在平面 DCC1D1内的射影．(1)证明：直线 FG1⊥平面 FEE1；(2)求异面直线 E1G1与 EA 所成角的正弦值．例 2 如图，已知四棱锥 P—ABCD 的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 的中点．(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值． 3 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，点 E 在线段 PC上，PC⊥平面 BDE.(1)证明：BD⊥平面 PAC；(2)若 PA＝1，AD...
