专项强化训练(三)数列的综合应用一、选择题1.设{an},{bn}分别为等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4=b4=1,则下列结论正确的是()A.a2>b2B.a3b5D.a6>b6【解析】选A.设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,由题可得d=-1,q=,于是a2=3>b2=2,故选A.【加固训练】若数列x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则的取值范围是.【解析】由等差数列与等比数列的性质得所以==2++.当x,y同号时,+≥2;当x,y异号时,+≤-2.所以的取值范围为(-∞,0][4,+∞).∪答案:(-∞,0][4,+∞)∪2.已知数列{an},{bn}满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点,则b10等于()A.24B.32C.48D.64【解析】选D.依题意有anan+1=2n,所以an+1an+2=2n+1.两式相除得=2,所以a1,a3,a5,…成等比数列,a2,a4,a6,…也成等比数列.而a1=1,a2=2,所以a10=2·24=32,a11=1·25=32.又因为an+an+1=bn,所以b10=a10+a11=64.3.设{an}(nN*)∈是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5S8,则下列结论错误的是()A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为Sn的最大值【解析】选C.因为{an}是等差数列,所以Sn=n2+n.因为S5S8,所以Sn关于n的二次函数开口向下,对称轴为n=6.5,所以d<0,S6与S7均为Sn的最大值,S90时,若x=n,nN*,∈则f(n)=f(n-1)+1=…=f(0)+n=n;若x不是整数,则f(x)=f(x-1)+1=…=f(x-[x]-1)+[x]+1,其中[x]代表x的整数部分,由f(x)=x得f(x-[x]-1)=x-[x]-1,其中-10,y>0),已知数列{an}满足:an=(nN*),∈若对任意正整数n,都有an≥ak(kN*)∈成立,则ak的值为()A.B.2C.1D.4【解析】选A.an=,==,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有当n=1,2时,2n2<(n+1)2,当n≥3时,2n2>(n+1)2,即当n≥3时,an+1>an,故数列{an}中的最小项是a1,a2,a3中的较小者,a1=2,a2=1,a3=,故ak的值为.5.甲、乙两间工厂的月产值在2012年1月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2012年11月份发现两间工厂的月产值又相同.比较甲、乙两间工厂2012年6月份的月产值大小,则有()A.甲的产值小于乙的产值B.甲的产值等于乙的产值C.甲的产值大于乙的产值D.不能确定【解析】选C.设甲各个月份的产值构成数列{an},乙各个月份的产值构成数列{bn},则数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,且a1=b1,a11=b11,故a6=≥===b6,由于在等差数列{an}中的公差不等于0,故a1≠a11,上面的等号不能成立,故a6>b6,即6月份甲的产值大于乙的产值.【方法技巧】建模解数列问题(1)分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系.(2)构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题.(3)通过建立的关系求出相关量.【加固训练】植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为()A.1和20B.9和10C.9和11D.10和11【解析】选D.设树苗放在第i个树坑旁边(如图所示)则各个树坑到第i个树坑的距离的和是S=10(i-1)+10(i-2)+…+10(i-i)+10[(i+1)-i]+…+10(20-i)=10+=10(i2-21i+210).所以当i=10或11时,S有最小值.二、填空题6.对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列的前n项和是.【解析】y=xn(1-x)=xn-xn+1,导数为y′=nxn-1-(n+1)xn,所以曲线在x=2处的切线斜率为k=n×2n-1-(n+1)×2n=-(n+2)2n-1,切点为(2,-2n),所以切线方程为y+2n=-(n+2)2n-1(x-2),令x=0得,y+2n=(n+2)2n,即y=(n+1)2n,所以an=(n+1)2n,所以=2n,数列是以2为首项,2为公比的等比数列,所以其前n项和Sn==2n+1-2.答案:2n+1-27.(2015·昆明模拟...
