二次函数与幂函数【考点梳理】1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax 2 ＋ bx ＋ c (a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为( h ， k ) ；零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为 f(x)的零点．(2)二次函数的图象与性质函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)图象定义域R值域单调性在上减，在上增在上增，在上减对称性函数的图象关于 x＝－对称2．幂函数(1)定义：形如 y ＝ x α (α∈R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数．(2)五种常见幂函数的图象与性质【考点突破】考点一、求二次函数的解析式【例 1】已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，则此二次函数的解析式是 ．[答案] f(x)＝－4x2＋4x＋7[解析] 法一(利用一般式)：函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1图象定义域RRR{ x | x ≥0} { x | x ≠0} 值域R{ y | y ≥0} R{ y | y ≥0} { y | y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)减，(0 ，＋∞ ) 增 增增( －∞， 0) 和 (0，＋∞)减公共点(1,1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由题意得解得∴所求二次函数为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二(利用顶点式)：设 f(x)＝a(x－m)2＋n. f(2)＝f(－1)，∴抛物线的图象的对称轴为 x＝＝.∴m＝.又根据题意函数有最大值 8，∴n＝8.∴y＝f(x)＝a2＋8. f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得 a＝－4，∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.法三(利用零点式)：由已知 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1，故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即 f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数的最大值是 8，即＝8，解得 a＝－4，∴所求函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.【类题通法】用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下【对点训练】已知二次函数 f(x)的图象经过点(4，3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任意x∈R，都有 f(2－x)＝f(2＋x)，则 f(x)的解析式是 ．[答案] f(x)＝x2－4x＋3[解析] f(2－x)＝f(2＋x)对 x∈R 恒成立，∴f(x)的对称轴为 x＝2.又 f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2，∴f(x)＝0 的两根为 1 和 3.设 f(x)的解析式为 f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又 f(x)的图象过点(4，3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求 f(x)的解析式为 f(x)＝(x－1)(x－3)，即 f(x)＝x2－4x＋3.考点二、...
