福建省泉州十五中 2014 高中数学 3.4 基本不等式导学案 1 新人教A 版必修 5 学习目标 学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 学习过程 一、课前准备看书本 97、98 页填空复习 1：重要不等式：对于任意实数，有，当且仅当________时，等号成立. 复习 2：基本不等式：设，则，当且仅当____时，不等式取等号. 二、新课导学※ 学习探究探究 1：基本不等式的几何背景：如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？将图中的“风车”抽象成如图，在正方形 ABCD 中有 4 个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a，b 那么正方形的边长为____________.这样，4 个直角三角形的面积的和是___________，正方形的面积为_________.由于4 个直角三角形的面积______正方形的面积，我们就得到了一个不等式：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即 a=b 时，正方形 EFGH 缩为一个点，这时有_______________结论：一般的，如果，我们有当且仅当时，等号成立.探究 2：你能给出它的证明吗？ 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得，通常我们把上式写作： 问：由不等式的性质证明基本不等？用分析法证明：证明：要证 (1)只要证 (2)1要证（2），只要证 （3）要证（3），只 要证 （4） 显然，（4）是成立的. 当且仅当 a=b 时，（4）中的等号成立. 3）理解基本不等式的几何意义探究：课本第 98 页的“探究”在右图中，AB 是圆的直径，点 C 是 AB 上的一点，AC=a，BC=b. 过点 C 作垂直于 AB 的弦DE，连接 AD、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？结论：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把看作是正数、 的等差中项，看作是正数、 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称为、 的算术平均数，称为、 的几何平均数.本节定理还 可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.※ 典型例题 例 1 （1）用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少？（2）段长为 36 m 的篱笆...
