第 2 课时 空间向量的坐标运算 设 a＝，b＝(1) a±b＝ (2) a＝ ．(3) a·b＝ ．(4) a∥b ；ab ．(5) 设则＝ ， ．AB 的中点 M 的坐标为 ．．解：设， ∥，∴，，典型例题基础过关∴，即解此方程组，得。∴，。例 2. 如图，直三棱柱，底面中，CA＝CB＝1，，棱，M、N 分别 A1B1、A1A 是的中点．(1) 求 BM 的长； (2) 求的值； (3) 求证：．解：以 C 为原点建立空间直角坐标系.(1) 依题意得 B（0，1，0），M（1，0，1）．.(2) 依题意得 A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）..xyzB1C1A1CBAMN(3) 证明：依题意得 C1（0，0，2），N. B(, 0, 0)、C(, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, , 1)，依题设 N(x, 0, z)，则＝(－x, , 1－z)，由于 NE⊥平面 PAC，∴ 即，即点 N 的坐标为(, 0, 1)，从而 N 到 AB、AP 的距离分别为 1，.(2) 设 N 到平面 PAC 的距离为 d，则 d＝＝.例 3. 如图，在底面是棱形的四棱锥中，，点E 在上，且:＝2:1．(1) 证明 平面；(2) 求以 AC 为棱，与为面的二面角的大小；(3) 在棱 PC 上是否存在一点 F，使∥平面？证明你的结论．解：（1）证明略；（2）易解得；（3）解 以 A 为坐标原点，直线分别为 y 轴、z 轴，过 A 点垂直于平面 PAD 的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题设条件，相关各点的坐标为所以，，，设点 F 是棱上的点，，其中，则．令得解得，即时，．亦即，F 是 PC 的中点时，共面，又平面，所以当 F 是 PC 的中点时，∥平面．CDBAPE例 4. 如图，多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEFG 所截而得，其中 AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4.(1) 求和点 G 的坐标；(2) 求 GE 与平面 ABCD 所成的角；(3) 求点 C 到截面 AEFG 的距离．解：(1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)，E(1，4，3)，F(0，4，4) ∴又 ，设 G(0，0，z)，则(－1，0，z)＝(－1，0，1) ∴z ＝1 ∴G(0，0，1)(2)平 面 ABCD 的法向量，设 GE 与平面 ABCD 成角为，则∴(3)设⊥面 AEFG，＝(x0，y0，z0) ⊥，⊥，而＝(－1，0，1)，＝(0，4，3)∴取 z0＝4，则＝(4，－3，4) 即点 C 到截面 AEFG 的距离为．变式训练 4. 如图四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，PG⊥平面 ABCD，垂足为ZADGEFCBxyG，G 在 AD 上，且 PG＝4，，BG⊥GC，GB＝GC＝2，...
