福建省长泰一中高考数学一轮复习《抛物线》学案3．抛物线的几何性质：对进行讨论．① 点的范围： 、 ．② 对称性：抛物线关于 轴对称．③ 离心率 ．④ 焦半径公式：设 F 是抛物线的焦点，是抛物线上一点，则 ．⑤ 焦点弦长公式：设 AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)i) 若，，则＝ ， ．ii) 若 AB 所在直线的倾斜角为(则＝ ．特别地，当时，AB 为抛物线的通径，且＝ ．iii) S△AOB＝ （表示成 P 与 θ 的关系式）．iv) 为定值，且等于 ．典型例题基础过关例 1. 已知抛物线顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点到焦点的距离为 5，求抛物线的方程和 n 的值．解：设抛物线方程为，则焦点是 F 点 A(－3，n)在抛物线上，且| AF |＝5故解得 P＝4，解：(1)解法一：设直线 的方程为：代入整理得，设则是上述关于的方程的两个不同实根，所以根据抛物线的定义知：| AB |＝＝若，则即直线 有两条，其方程分别为：解法二：由抛物线的焦点弦长公式|AB|＝(θ 为 AB 的倾斜角)易知 sinθ＝±，即直线 AB 的斜率 k＝tanθ＝±，故所求直线方程为：或.(2) 由(1)知，当且仅当时，|AB|有最小值 4．解法二：由(1)知|AB|＝＝∴ |AB|min＝4 (此时 sinθ＝1，θ＝90°)变式训练 2：过抛物线 y2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线（ ）A．有且仅有一条 B．有且仅有两条C．有无数条D．不存在解：B例 3. 若 A(3，2)，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的 P 的坐标．解：抛物线的准线方程为过 P 作 PQ 垂直于准线于 Q 点，由抛物线定义得|PQ|＝| PF |，∴| PF |＋| PA |＝| PA |＋| PQ |要使| PA |＋| PQ |最小，A、P、Q 三点必共线，即 AQ 垂直于准线，AQ 与抛物线的交点为P 点从而|PA|＋|PF|的最小值为此时 P 的坐标为(2，2)变式训练 3：一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是 x2，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径 r 的取值范围是 。解：例 4. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点在抛物线 y＝2x2上，l 是 AB 的垂直平分线．(1)当且仅当 x1＋x2取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点 F？证明你的结论？(2)当直线 l 的斜率为 2 时，求在 y 轴上的截距的取值范围．解：(1)F∈l|FA|＝|FB|A、B 两点到抛物线的准线的距离相...
