福建省长泰一中高考数学一轮复习《平面与平面平行》学案例 1．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F 分别是棱 A1B1、A1D1、B1C1、C 1D1中点．(1) 求证：平面 AMN∥平面 EFDB；(2) 求异面直线 AM、BD 所成角的余弦值．解：(1) 易证 EF∥B1D1 MN∥B1D1 ∴EF∥MNAN∥BE 又 MN∩AN＝N EF∩BE＝E∴面 AMN∥面 EFDB(2) 易证 MN∥BD ∴∠AMN 为 AM 与 BD 所成角易求得 cos∠AMN＝A1ABCB1C1EFMN D1D基础过关典型例题在 AB、CD 上，且．求证：EF∥∥．证明：1°若 AB 与 CD 共面，设 AB 与 CD 确定平面 γ，则 α∩γ＝AC β∩γ＝BD∵α∥β ∴AC∥BD 又∵∴EF∥AC∥BD ∴EF∥α∥β2°若 AB 与 CD 异面，过 A 作 AA'∥CD在 AA'截点 O，使 ∴EO∥BA' OF∥A'D∴平面 EOF∥α∥β ∴EF 与 α、β 无公共点∴EF∥α∥β变式训练 2：在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P 分别是CC1、B1C1、C1D1的中点．求证：(1) APMN；(2) 平面 MNP∥平面 A1BD．证明：(1) 连 BC1 易知 AP 在 BCC1B1内射影是 BC1BC1⊥MN ∴AP⊥MN(2) ∵面 MNP∥面 A1BD例 3.已知 a 和 b 是两条异面直线．(1) 求证：过 a 和 b 分别存在平面 α 和 β，使 α∥β；(2) 求证：a、b 间的距离等于平面 α 与 β 的距离．(1) 在直线 a 上任取一点 P，过 P 作 b'∥b，在直线 b 上取一点 Q过 Q 作 a'∥a 设 a, b'确定一个平面 αa', b 确定平面 β a'∥a aα ∴a'∥α同理 b∥α 又 a'、bβ ∴α∥β因此，过 a 和 b 分别存在两个平面 α、β(2) 设 AB 是 a 和 b 的公垂线，则 AB⊥b，AB⊥a ∴AB⊥a'a'和 b 是 β 内的相交直线，∴AB⊥β 同理 AB⊥α因此，a, b 间的距离等于 α 与 β 间的距离．变式训练 3：如图，已知平面 α∥平面 β，线段 PQ、PF、QC 分别交平面 α 于 A、B、C、点，交平面 β 于 D、F、E 点，PA＝9，AD＝12，DQ＝16，△ABC 的面积是 72，试求△DEF 的面积．解：平面 α∥平面 β，∴AB∥DF，AC∥DE，∴∠CAB＝∠EDF．在△PDF 中，AB∥DF，DF＝AB＝AB，同理 DE＝AC．S△DEF＝DF·DE sin∠EDF＝S△ABC＝96．例 4.如图，平面∥平面，ABC．A1B1C1分别在、内，线段 AA1、BB1、CC1交于点O，O 在、之 间，若 AB＝2AC＝2，∠BAC＝60°，OA:OA1＝3:2．求A1B1C1的面积．解：∵α∥β AA1∩BB1＝O ∴AB∥A1B1同理 AC∥A1C1 BC∥B1C1∴△ABC∽△A1B1C1 S△ABC＝AB·AC·sin60°＝ ∴∴＝QFDECABαβPB1A1C1βα BCAO所以 ta nθ＝．1．判定两个平面平行的方法：(1)定义法；(2)判定定理．2．正确运用两平面平行的性质．3． 注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线∥线线∥面面∥面．小结归纳
