高二数学：2.1《合情推理与演绎证明》素材1新人教版

高考中的类比推理大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。例 1、（2006 湖北）半径为 r 的圆的面积2)(rrS，周长rrC 2)(，若将 r 看作),0(  上的变量，则rr2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为 R 的球，若将 R 看作看作),0(  上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________.解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立，,34)(3RRV24)(RrS.答案：①)'34(3R.42R ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比例 2．（2000 年上海高考第 12 题）在等差数列｛an｝中，若 a10=0，则有等式 a1＋a2＋……＋an=a1＋a2＋……＋a19－n（n＜19，n∈N*）成立。类比上述性质，相应地：在等比数列｛bn｝中，若b9=1，则有等式 成立。分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。在等差数列｛an｝前 19 项中，其中间一项 a10=0，则 a1＋a19= a2＋a18=……= an＋a20－n= an＋1＋a19－n=2a10=0，所以 a1＋a2＋……＋an＋……＋a19=0，即 a1＋a2＋……＋an=－a19－a18－…－an＋1，又 a1=－a19， a2=－a18，…，a19－n=－an＋1，∴ a1＋a2＋……＋an=－a19－a18－…－an＋1= a1＋a2＋…＋a19－n。相似地，在等比数列｛bn｝的前 17 项中，b9=1 为其中间项，则可得 b1b2…bn= b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）。例 3．（2003 年全国高考新课程卷文科第 15 题）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边 AB、AC 互相垂直，则 AB2＋AC2= BC2。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥 A—BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则 ________________ ”。www.ks5u.com分析：这是由低维（平面）到高维（空间）之间的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中（当然必须经过论证其正确性），像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中，...