高考数学 考点突破——平面向量：平面向量的基本定理及坐标表示学案-人教版高三全册数学学案

平面向量的基本定理及坐标表示【考点梳理】1．平面向量基本定理(1)定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，该平面内的任一向量 a 可表示成 a＝xi＋yj，由于 a 与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a＝( x ， y ) ，其中 a 在 x 轴上的坐标是 x，a 在 y 轴上的坐标是y.3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝( x 1＋ x 2， y 1＋ y 2)，a－b＝( x 1－ x 2， y 1－ y 2)，λa＝( λx 1， λy 1)，|a|＝.(2)向量坐标的求法① 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．② 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝( x 2－ x 1， y 2－ y 1)，|AB|＝.4．平面向量共线的坐标表示设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0.a，b 共线⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .【考点突破】考点一、平面向量基本定理及其应用【例 1】(1)设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EB＋FC＝( )A．AD B．AD C．BC D．BC(2)在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则 λ＋μ＝________.[答案] (1) A (2)[解析] (1)如图所示，EB＋FC＝(EC－BC)＋(FB＋BC)＝EC＋FB＝AC＋AB＝(AC＋AB)＝AD.(2)选择AB，AD作为平面向量的一组基底，则AC＝AB＋AD，AE＝AB＋AD，AF＝AB＋AD，又AC＝λAE＋μAF＝AB＋AD，于是得解得所以 λ＋μ＝.【类题通法】1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【对点训练】1．已知点 M 是△ABC 的边 BC 的中点，点 E 在边 AC 上，且EC＝2AE，则向量EM＝( )A．AC＋AB B．AC＋ABC．AC＋AB D．AC＋AB[答案] C[解析] 如图， EC＝2AE，∴EM＝EC＋CM＝AC＋CB＝AC＋(AB－AC)＝AB＋AC.2．如图，在平行四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 ...