等比数列及其前 n 项和【考点梳理】1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．即 G 是 a 与 b 的等比中项⇒a，G，b 成等比数列⇒G 2 ＝ ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1q n － 1 .(2)前 n 项和公式：Sn＝3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·q n － m (n，m∈N*)．(2)若 m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则 am·an＝ap· a q＝a；(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列； (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为 qk.【考点突破】考点一、等比数列的基本运算【例 1】(1)设等比数列{an}满足 a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则 a4＝________.(2)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前 n 项和.若 Sn＝126，则 n＝________.[答案] (1) －8 (2) 6[解析] (1)由{an}为等比数列，设公比为 q.由得显然 q≠1，a1≠0，得 1－q＝3，即 q＝－2，代入①式可得 a1＝1，所以 a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.(2)由 an＋1＝2an，知数列{an}是以 a1＝2 为首项，公比 q＝2 的等比数列，由 Sn＝＝126，解得 n＝6.【类题通法】1. 等 比 数 列 基 本 量 的 运 算 是 等 比 数 列 中 的 一 类 基 本 问 题 ， 等 比 数 列 中 有 五 个 量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q＝1 时，{an}的前 n 项和 Sn＝na1；当 q≠1 时，{an}的前 n 项和 Sn＝＝.【对点训练】1．在等比数列{an}中，a3＝7，前 3 项和 S3＝21，则公比 q 的值为( )A．1B．－C．1 或－D．－1 或[答案] C[解析] 根据已知条件得②÷① 得＝3.整理得 2q2－q－1＝0，解得 q＝1 或 q＝－.2．已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前 n 项和等于__________．[答案] 2n－1[解析] 设等比数列的公比为 q，则有解得或又{an}为...
