第 2 讲 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真 题 感 悟 1.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则 AB＝( )A.4 B.C. D. 2解析 因为 cos ＝，所以 cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－.于是，在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×＝32.所以 AB＝4.答案 A2.(2017·全国Ⅰ卷)已知 α∈，tan α＝2，则 cos ＝________.解析 α∈，且 tan α＝2，∴sin α＝2 cos α，又 sin 2α＋cos2α＝1，所以 sin α＝，cos α＝.所以 cos＝(cos α＋sin α)＝.答案 3.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形 ABCD 中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求 cos∠ADB；(2)若 DC＝2，求 BC.解 (1)在△ABD 中，由正弦定理得＝，即＝，所以 sin∠ADB＝.由题设知，∠ADB<90°，所以 cos∠ADB＝＝.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.在△BCD 中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25.所以 BC＝5.4.(2018·浙江卷)已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P .(1)求 sin(α＋π)的值；(2)若角 β 满足 sin(α＋β)＝，求 cos β 的值.解 (1)由角 α 的终边过点 P ，得 sin α＝－，所以 sin(α＋π)＝－sin α＝.(2)由角 α 的终边过点 P ，得 cos α＝－，由 sin(α＋β)＝，得 cos(α＋β)＝±.由 β＝(α＋β)－α 得 cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以 cos β＝－或 cos β＝.考 点 整 合1.三角函数公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；tan(α±β)＝.(2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中 tan φ＝.2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式(1)正弦定理在△ABC 中，＝＝＝2R(R 为△ABC 的外接圆半径)；变形：a＝2Rsin A，sin A＝，a...
