第 2 课时 导数与函数的极值、最值(对应学生用书第 38 页)利用导数解决函数的极值问题◎角度 1 根据函数图像判断函数极值的情况 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 y＝(1－x)f′(x)的图像如图 2113 所示，则下列结论中一定成立的是( )图 2113A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1)C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2)D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)D [由题图可知，当 x＜－2 时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1 时，f′(x)＜0；当 1＜x＜2时，f′(x)＜0；当 x＞2 时，f′(x)＞0.由此可以得到函数 f(x)在 x＝－2 处取得极大值，在 x＝2 处取得极小值．]◎角度 2 求已知函数的极值 (2017·全国卷Ⅱ)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则 f(x)的极小值为( )A．－1 B．－2e－3C．5e－3D．1A [函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，则 f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．由 x＝－2 是函数 f(x)的极值点得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以 a＝－1.所以 f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)．由 ex－1>0 恒成立，得 x＝－2 或 x＝1 时，f′(x)＝0，且 x<－2 时，f′(x)>0；－21 时，f′(x)>0.所以 x＝1 是函数 f(x)的极小值点．所以函数 f(x)的极小值为 f(1)＝－1.故选 A．]◎角度 3 已知函数极值求参数的值或范围 (1)已知 f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在 x＝－1 时有极值 0，则 a－b＝________.(2)(2018·湖北调考)已知函数 f(x)＝－x2＋4x－3ln x 在(t，t＋1)上存在极值点，则实数 t 的取值范围为________．(1)－7 (2)(0,1)∪(2,3) [(1)由题意得 f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则解得或经检验当 a＝1，b＝3 时，函数 f(x)在 x＝－1 处无法取得极值，而 a＝2，b＝9 满足题意，故 a－b＝－7.(2)由题意得 f′(x)＝－x＋4－＝－＝－(x＞0)．由 f′(x)＝0 得 x＝1 或 x＝3，所以要使函数 f(x)在(t，t＋1)上存在极值点，则 t＜1＜t＋1 或 t＜3＜t＋1，即 0＜t＜1 或 2＜t＜3，所以实数 t 的取值范围为(0,1)∪(2,3)．][规律方法] 1.利用导数研究函数极值问题的一般流程2．已知函数极值点和极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为 0 和极值列方程组，利...
