高考数学一轮复习 第8章 立体几何初步 规范答题系列3 高考中的立体几何问题教学案 文 北师大版-北师大版高三全册数学教学案VIP专享

规范答题系列 3 高考中的立体几何问题(对应学生用书第 142 页)[命题解读] 从近五年全国卷高考试题来看，立体几何解答题主要出现在 18 题或 19 题的位置上，解答题一般有两个问题，第一个问题重点考查线、面的平行、垂直关系，第二个问题，有三个热点题型：一是考查空间几何体的体积；二是考查点面距离；三是与平行、垂直有关的存在性问题．[典例示范] (本题满分 12 分)(2019·全国卷Ⅱ)如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面 EB1C；(2)若 AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥 EBB1C1C 的体积②.[信息提取] 看到①想到线面垂直的判定定理及其几何体中与 BE有关的垂直关系；看到②想到四棱锥的底面形状和如何求高．[规范解答](1)证明：由已知得 B1C1⊥平面 ABB1A11 分BE平面 ABB1A1，故 B1C1⊥BE.2 分又 BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，所以 BE⊥平面 EB1C1.4 分(2)由(1)知∠BEB1＝90°.5 分由题设知 Rt△ABE≌Rt△A1B1E，6 分所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，7 分故 AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.8 分如图，作 EF⊥BB1，垂足为 F，则 EF⊥平面 BB1C1C，且 EF＝AB＝3.10 分所以四棱锥 EBB1C1C 的体积V＝×3×6×3＝18.12 分[易错防范] 易错点防范措施证明时书写步骤不规范，缺少 BE平面ABB1A1及 B1C1∩EC1＝C1等必要条件严格按照线面垂直的判定定理及性质定理的要求书写得不到 AE＝AB＝3 这个结论，而是凭感觉直接使用这个结论在计算过程中，需要用到的结论，都需要通过推理得到[通性通法] 证明线面垂直的方法较多，常用的有：(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理等．体积的计算是高考的重点与热点，其方法灵活多样，而直接求解、分割、补形、等积变换是常见方法．[规范特训] (2019·石家庄模拟)如图，已知三棱锥 PABC 中，PC⊥AB，△ABC 是边长为 2 的正三角形，PB＝4，∠PBC＝60°.(1)证明：平面 PAC⊥平面 ABC；(2)设 F 为棱 PA 的中点，在 AB 上取点 E，使得 AE＝2EB，求三棱锥 FACE 与四棱锥 CPBEF的体积之比．[解](1)在△PBC 中，∠PBC＝60°，BC＝2，PB＝4，由余弦定理可得 PC＝2，∴PC2＋BC2＝PB2，∴PC⊥BC，又 PC⊥AB，AB∩BC＝B，∴PC⊥平面 ABC，∵PC平面 PAC，∴平面 PAC⊥平面 ABC.(2)设三棱锥 FACE 的高为 h1，三棱锥 PABC 的高为 h，则 VFACE＝×S△ACE×h1＝×S△ABC××h×＝×S△ABC×h×＝×VPABC.∴三棱锥 FACE 与四棱锥 CPBEF 的体积之比为 1∶2.