第五节 椭 圆[考纲传真] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．1．椭圆的定义把平面内到两个定点 F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0，c＞0，且 a，c 为常数：(1)若 a ＞ c ，则集合 P 为椭圆；(2)若 a ＝ c ，则集合 P 为线段；(3)若 a ＜ c ，则集合 P 为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝，且 e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2[常用结论]1．点 P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔＋＜1.(2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.(3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔＋＞1.2．焦点三角形椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2 叫做焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为 S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：(1)当 r1＝r2时，即点 P 的位置为短轴端点时，θ 最大；(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b 时，即点 P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为 bc.(3)a－c≤|PF1|≤a＋c.3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中 a 是斜边长，a2＝b2＋c2.4．已知过焦点 F1的弦 AB，则△ABF2的周长为 4a.5．椭圆中点弦的斜率公式若 M(x0，y0)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦 AB(AB 不平行 y 轴)的中点，则有 kAB·kOM＝－，即 kAB＝－.6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长|AB|＝|x1－x2|＝＝|y1－y2|＝(k 为直线斜率)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )(2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2构成△PF1F2的周长为 2a＋2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．( )(4)关于 x，y 的方程 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )[答...
