第 2 课时 定点、定值、探索性问题 圆锥曲线中的定点问题(师生共研) (2020·武汉模拟)过抛物线 C：y2＝4x 的焦点 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 C于 A，B 两点，且|AB|＝8.(1)求直线 l 的方程；(2)若 A 关于 x 轴的对称点为 D，求证：直线 BD 过定点，并求出该点的坐标．【解】 (1)由 y2＝4x 知焦点 F 的坐标为(1，0)，则直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，代入抛物线方程 y2＝4x，得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，由题意知 k≠0，且 Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k2·k2＝16(k2＋1)＞0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝，x1x2＝1.由抛物线的弦长公式知|AB|＝x1＋x2＋2＝8，则＝6，即 k2＝1，解得 k＝±1.所以直线 l 的方程为 y＝±(x－1)．(2)由(1)及抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x1，－y1)，直线 BD 的斜率 kBD＝＝＝，所以直线 BD 的方程为 y＋y1＝(x－x1)，即(y2－y1)y＋y2y1－y＝4x－4x1.因为 y＝4x1，y＝4x2，x1x2＝1，所以(y1y2)2＝16x1x2＝16，即 y1y2＝－4(y1，y2异号)．所以直线 BD 的方程为 4(x＋1)＋(y1－y2)y＝0，对任意 y1，y2∈R，有解得即直线 BD 恒过定点(－1，0)．求解圆锥曲线中定点问题的两种方法(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．(2)直接推理法：①选择一个参数建立方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常数 k 当成变量，将变量 x，y 当成常数，将原方程转化为 kf(x，y)＋g(x，y)＝0 的形式；②根据曲线(包含直线)过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． (2020·南昌模拟)已知椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)上动点 P 到两焦点F1，F2的距离之和为 4，当点 P 运动到椭圆 C 的一个顶点时，直线 PF1恰与以原点 O 为圆心，以椭圆 C 的离心率 e 为半径的圆相切．(1)求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B，若直线 PA，PB 分别交直线 x＝6 于不同的两点M，N，则以线段 MN 为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解：(1)由椭圆的定义可知 2a＝4，解得 a＝2.若点 P 运动到椭圆的左、右顶点时，直线 PF1与圆一定相交，则点 P 只能在椭圆的上、下顶点，不妨设点 P 运动到椭圆的上顶点(0，b)，F1为左焦点(－c，0)，则直线...
