第 2 课时 定点、定值、范围、最值问题(对应学生用书第 151 页)定点问题 (2018·郑州第二次质量预测)已知动圆 M 恒过点(0,1)，且与直线 y＝－1 相切．(1)求圆心 M 的轨迹方程；(2)动直线 l 过点 P(0，－2)，且与点 M 的轨迹交于 A，B 两点，点 C 与点 B 关于 y 轴对称，求证：直线 AC 恒过定点．[解] (1)由题意，得点 M 与点(0,1)的距离始终等于点 M 到直线 y＝－1 的距离，由抛物线定义知圆心 M 的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线 y＝－1 为准线的抛物线，则＝1，p＝2.∴圆心 M 的轨迹方程为 x2＝4y.(2)证明：由题知，直线 l 的斜率存在，∴设直线 l：y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 C(－x2，y2)，联立得 x2－4kx＋8＝0，∴kAC＝＝＝，则直线 AC 的方程为 y－y1＝(x－x1)，即 y＝y1＋(x－x1) ＝x－＋ ＝x＋. x1x2＝8，∴y＝x＋＝x＋2，故直线 AC 恒过定点(0,2)．[规律方法] 1.圆锥曲线中定点问题的两种解法① 引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数作为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.② 特殊到一般法：根据动点和动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.2.求直线方程过定点问题，要把直线方程表示出来，一般表示成点斜式或截距式.[跟踪训练] (2018·呼和浩特一调)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率 e＝，直线 y＝bx＋2 与圆 x2＋y2＝2 相切．(1)求椭圆的方程；(2)已知定点 E(1,0)，若直线 y＝kx＋2(k≠0)与椭圆相交于 C，D 两点，试判断是否存在实数 k，使得以 CD 为直径的圆过定点 E？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由. 【导学号：79140309】[解] (1) 直线 l：y＝bx＋2 与圆 x2＋y2＝2 相切．∴＝，∴b2＝1. 椭圆的离心率 e＝，∴e2＝＝＝，∴a2＝3，∴所求椭圆的方程是＋y2＝1.(2)将直线 y＝kx＋2 代入椭圆方程，消去 y 可得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，∴Δ＝36k2－36＞0，∴k＞1 或 k＜－1.设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，则有 x1＋x2＝－，x1x2＝.若以 CD 为直径的圆过点 E，则 EC⊥ED． EC＝(x1－1，y1)，ED＝(x2－1，y2)，∴(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0.∴(1＋k2)x1x2＋(2k－1)(x1＋x2)＋5＝0，∴(1＋k2)×＋(2k－1)×＋5＝0.解得 k＝－＜－1.∴存在实数 k＝－使得以 CD 为直径的圆过定点 E.定值问题 (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 y＝x2＋mx－2 与 x 轴交于 A，B...
