第七节 正弦定理和余弦定理[考纲传真] (教师用书独具)掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(对应学生用书第 61 页)[基础知识填充]1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2R.(R 为△ABC 外接圆半径)a2＝b 2 ＋ c 2 － 2 bc ·cos A ；b2＝c 2 ＋ a 2 － 2 ca ·cos B ；c2＝a 2 ＋ b 2 － 2 ab ·cos C 变形形式(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝cos A＝；cos B＝；cos C＝2.在△ABC 中，已知 a、b 和 A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a＝bsin Absin A＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)S＝a·ha(ha表示边 a 上的高)；(2)S＝absin C＝ac sin B ＝bc sin A ；(3)S＝r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．[知识拓展]1．在△ABC 中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B．2．合比定理：＝＝2R.3．在锐角三角形中① A＋B＞；②若 A＝，则＜B，C＜.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC 中，若 A＞B，则必有 sin A＞sin B．( )(2)在△ABC 中，若 b2＋c2＞a2，则△ABC 为锐角三角形．( )(3)在△ABC 中，若 A＝60°，a＝4，b＝4，则 B＝45°或 135°.( )(4)在△ABC 中，＝.( )[解析] (1)正确．A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B．(2)错误．由 cos A＝＞0 知，A 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形．(3)错误．由 b＜a 知，B＜A．(4)正确．利用 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知结论正确．[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．在△ABC 中，a＝3，b＝5，sin A＝，则 sin B＝( )A． B．C．D．1B [根据＝，有＝，得 sin B＝.故选 B．]3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a＝，c＝2，cos A＝，则 b＝( )A．B．C．2D．3D [由余弦定理得 5＝b2＋4－2×b×2×，解得 b＝3 或 b＝－(舍去)，故选 D．]4．在△ABC 中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC 的面积为________．4 [ cos C＝，0＜C＜π，∴sin C＝，∴S△ABC＝absin C＝×3×2×＝4.]5．(教材改编)在△ABC 中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________．等腰三角形或直角三角形 [由正弦定理，得 sin Acos A＝si...
