高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理与余弦定理、三角形中的几何计算教学案 文 北师大版-北师大版高三全册数学教学案

第六节 正弦定理与余弦定理、三角形中的几何计算[最新考纲] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(对应学生用书第 76 页)1．正弦、余弦定理在△ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为△ABC 的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2R.a2＝b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos _A；b2＝c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos _B；c2＝a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos _C.变形(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)a∶b∶c ＝ sin A∶sin B∶sin C；(3)＝＝2R.cos A＝；cos B＝；cos C＝.2.三角形常用面积公式(1)S＝a·ha(ha表示边 a 上的高)；(2)S＝absin C＝ac sin B ＝bc sin A ；(3)S＝r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．[常用结论]1．在△ABC 中，A ＞ B ⇔ a ＞ b ⇔ sin A ＞ sin B .2．三角形中的射影定理在△ABC 中，a＝b cos C ＋ c cos B ；b＝a cos C ＋ c cos A ；c＝b cos A ＋ a cos B .3．内角和公式的变形(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( )(2)在△ABC 中，若 sin A＞sin B，则 A＞B.( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )(4)当 b2＋c2－a2＞0 时，△ABC 为锐角三角形；当 b2＋c2－a2＝0 时，△ABC 为直角三角形；当 b2＋c2－a2＜0 时，△ABC 为钝角三角形．( )[答案](1)× (2)√ (3)× (4)×二、教材改编1．已知△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A＝，B＝，a＝1，则 b＝( )A．2 B．1 C. D.D [由＝得 b＝＝＝×2＝.]12．在△ABC 中，若 a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( )A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定B [ bsin A＝24sin 45°＝12，∴12＜18＜24，即 bsin A＜a＜b.∴此三角形有两解．]3．在△ABC 中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________．等腰三角形或直角三角形 [由正弦定理，得 sin Acos A＝sin Bcos B，即 sin 2A＝sin 2B，所以 2A＝2B 或 2A＝π－2B，即 A＝B 或 A＋B＝，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]4．在△ABC 中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC 的面积等于________．2 [因为＝，所以 sin B＝1，所以 B＝90°，所以 AB＝2，所以 S△ABC＝×...