第 6 讲 正弦定理和余弦定理一、知识梳理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2R(R 为△ABC 外接圆半径)a2＝b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos _A；b2＝c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos _B；c2＝a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos _C变形形式a＝2 R sin _A，b＝2 R sin _B，c＝2 R sin _C；sin A＝，sin B＝，sin C＝；a∶b∶c＝sin_A ∶sin _B ∶sin _C；＝cos A＝；cos B＝；cos C＝2.三角形解的判断A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a＝bsin Absin A
b解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S＝ah(h 表示边 a 上的高)．(2)S＝bcsin A＝ac sin _B＝absin C.(3)S＝r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)．常用结论1．三角形内角和定理在△ABC 中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；(3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin .3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acosB．二、教材衍化1．在△ABC 中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( )A. B．C. D．解析：选 C.因为在△ABC 中，设 AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC＝π.2．在△ABC 中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC 的面积等于________．解析：因为＝，所以 sin B＝1，所以 B＝90°，所以 AB＝2，所以 S△ABC＝×2×2＝2.答案：2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC 中，已知 a，b 和角 B，能用正弦定理求角 A；已知 a，b 和角 C，能用余弦定理求边 c.( )(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( )(3)在△ABC 中，sin A>sin B 的充分不必要条件是 A>B.( )(4)在△ABC 中，a2＋b2
