第 7 讲 解三角形的综合应用一、知识梳理1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α(如图②)．3．方向角相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东 α，即由指北方向顺时针旋转 α 到达目标方向(如图③)．(2)北偏西 α，即由指北方向逆时针旋转 α 到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角 θ 为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比．常用结论测量中的几种常见问题求 AB图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达∠ACB＝αBC＝a解直角三角形 AB＝atan α底部不可达∠ACB＝α∠ADB＝βCD＝a解两个直角三角形 AB＝求水平距离山两侧∠ACB＝αAC＝bBC＝a用余弦定理 AB＝河两岸∠ACB＝α∠ABC＝βCB＝a用正弦定理AB＝河对岸∠ADC＝α∠BDC＝β∠BCD＝δ∠ACD＝γCD＝a在△ADC 中，AC＝在△BDC 中，BC＝在△ABC 中，应用余弦定理求 AB二、教材衍化1．如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，则可以计算出 A，B 两点的距离为________m.解析：由正弦定理得＝，又因为∠B＝30°，所以 AB＝＝＝50(m)．答案：502．如图，在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 30°，沿倾斜角为 15°的斜坡向上走 a 米到B，在 B 处测得山顶 P 的仰角为 60°，则山高 h＝________米．解析：由题图可得∠PAQ＝α＝30°，∠BAQ＝β＝15°，△PAB 中，∠PAB＝α－β＝15°，又∠PBC＝γ＝60°，所以∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，所以＝，所以 PB＝a，所以 PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β＝a×sin 60°＋asin 15°＝a.答案：a一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)东北方向就是北偏东 45°的方向．( )(2)从 A 处望 B 处的仰角为 α，从 B 处望 A 处的俯角为 β，则 α，β 的关系为 α＋β＝180°.( )(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.( )(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( )(5)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是[0，)．( )答案：(1)√ (2)× (3)×...
