高考必考题突破讲座(一)导数及其应用[解密考纲]导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．1．已知函数 f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－2.(1)求函数 f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；(2)设函数 F(x)＝f(x)－g(x)，若函数 F(x)的零点有且只有一个，求实数 a 的值．解析 (1) f′(x)＝ln x＋1，∴当 0
时，f′(x)>0，∴f(x)在上单调递减，在上单调递增．① 当 00)，∴h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴h(x)min＝h(1)＝3，由题意可知，若使 y＝f(x)与 y＝g(x)的图象恰有一个公共点，则 a＝h(x)min＝3.综上，若函数 F(x)的零点有且只有一个，则实数 a＝3.2．已知函数 f(x)＝x·eax＋ln x－e，(a∈R)．(1)当 a＝1 时，求函数 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)设 g(x)＝ln x＋－e，若函数 h(x)＝f(x)－g(x)在定义域内存在两个零点，求实数a 的取值范围．解析 (1) a＝1，∴f(x)＝xex＋ln x－e，f′(x)＝(x＋1)ex＋，∴f(1)＝0，f′(1)＝2e＋1．∴f(x)在点(1,0)处的切线方程为 y＝(2e＋1)(x－1)．(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝xeax－＝在定义域(0，＋∞)上存在两个零点，即 x2eax－1＝0在(0，＋∞)上有两个实数根．令 φ(x)＝x2eax－1，则 φ′(x)＝ax2eax＋2xeax＝xeax(ax＋2)，① 当 a≥0 时，φ′(x)＝xeax(ax＋2)>0，∴y＝φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝φ(x)在(0，＋∞)至多一个零点，不合题意．② 当 a<0 时，令 φ′(x)＝0，得 x＝－.x－φ′(x)＋0－φ(x)单调递增极大值单调递减 φ(0)＝－1，当 x→＋∞，φ(x)→－1，∴要使 φ(x)＝x2eax－1 在(0，＋∞)上有两个零点，则 φ>0 即可，得 a2<，又 a<0，∴－
