高考大题增分课三 数列中的高考热点问题[命题解读] 全国卷中的数列与三角基本上是交替考查，难度不大，题目多为常规题．从五年全国卷高考试题来看，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的基本运算；二是等差、等比数列的判定与证明；三是数列的求和问题(以裂项求和为主)，难度中等．等差、等比数列的基本运算等差、等比数列的基本运算主要涉及两个数列的通项与求和公式，求解的关键是充分借助方程思想，代数列的通项或求和问题为公差 d(或公比 q)及首项 a1的方程求解问题．【例 1】 (2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若 a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；(2)若 T3＝21，求 S3.[解] 设{an}的公差为 d，{bn}的公比为 q，则 an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1.由 a2＋b2＝2 得 d＋q＝3.①(1)由 a3＋b3＝5 得 2d＋q2＝6.②联立①和②解得(舍去)，因此{bn}的通项公式为 bn＝2n－1.(2)由 b1＝1，T3＝21 得 q2＋q－20＝0.解得 q＝－5 或 q＝4.当 q＝－5 时，由①得 d＝8，则 S3＝21.当 q＝4 时，由①得 d＝－1，则 S3＝－6.[规律方法] 在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷． (2018·北京高考)设{an}是等差数列，且 a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.(1)求{an}的通项公式；(2)求 ea1＋ea2＋…＋ean.[解] (1)设{an}的公差为 d，因为 a2＋a3＝5ln 2，所以 2a1＋3d＝5ln 2.又 a1＝ln 2，所以 d＝ln 2.所以 an＝a1＋(n－1)d＝nln 2.(2)因为 eln 2＝2，∴＝ean－an－1＝eln 2＝2.所以数列{ean}是首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以 ea1＋ea2＋…＋ean＝＝2(2n－1)＝2n＋1－2.等差、等比数列的判定与证明等差(比)数列的判定与证明是高考中的常见题型之一，其基本方法是利用等差(比)数列定义，即证明 an＋1－an＝常数.难度不大．【例 2】 (2014·全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中 λ 为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在 λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．[解] (1)证明：由题设知 anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得 an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于 an＋1≠0，所以 an＋2－an...
