第 5 讲 简单的三角恒等变换基础知识整合1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式2．二倍角的正弦、余弦、正切公式公式名公式二倍角的正弦sin2α＝2sin α cos α 二倍角的余弦cos2α＝cos 2 α － sin 2 α ＝1 － 2sin 2 α ＝2cos 2 α － 1 二倍角的正切tan2α＝1．公式的常用变式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；tanαtanβ＝1－＝－1.2．降幂公式：sin2α＝；cos2α＝；sinαcosα＝sin2α.3．升幂公式：1＋cosα＝2cos2；1－cosα＝2sin2；1＋sinα＝2；1－sinα＝2.4．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；＋α＝－等．5．辅助角公式：一般地，函数 f(α)＝asinα＋bcosα(a，b 为常数)可以化为 f(α)＝sin(α＋φ)或 f(α)＝cos(α－φ). 1．sin415°－cos415°＝( )A. B．－ C. D．－答案 D解析 sin415°－cos415°＝(sin215°－cos215°)(sin215°＋cos215°)＝sin215°－cos215°＝－cos30°＝－.故选 D.2．(2018·全国卷Ⅲ)若 sinα＝，则 cos2α＝( )A. B． C．－ D．－答案 B解析 cos2α＝1－2sin2α＝1－＝.故选 B.3．(2019·南宁联考)若角 α 满足 sinα＋2cosα＝0，则 tan2α＝( )A．－ B． C．－ D．答案 D解析 由题意知，tanα＝－2，所以 tan2α＝＝.故选 D.4．(2019·全国卷Ⅱ)已知 α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则 sinα＝( )A. B． C. D．答案 B解析 由 2sin2α＝cos2α＋1，得 4sinαcosα＝2cos2α.又 α∈，∴tanα＝，∴sinα＝.故选 B.5．cos18°cos42°－cos72°sin42°＝________.答案 解 析 cos18°cos42° － cos72°sin42° ＝ cos18°cos42° － sin18°sin42° ＝cos(18°＋42°)＝cos60°＝.6.若 tanα＝，tan(α＋β)＝，则 tanβ＝________.答案 解析 tanβ＝tan(α＋β－α)＝＝＝＝.核心考向突破考向一 三角函数的化简 例 1 (1)(2019·天津河北区二模)已知函数 f(x)＝cos－2sincos，x∈R，给出下列四个命题：① 函数 f(x)的最小正周期为 2π；② 函数 f(x)的最大值为 1；③ 函数 f(x)在上单调递增；④ 将函数 f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为 g(x)＝sin2x.其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析 f(x)＝cos－sin＝cos2xcos＋sin2xs...
