第六节 立体几何中的向量方法[最新考纲] 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．1．异面直线所成的角设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则a 与 b 的夹角〈a，b〉l1与 l2所成的角 θ范围0＜〈a，b〉＜π0< θ ≤ 关系cos〈a，b〉＝cos θ＝|cos〈a，b〉|＝2
直线与平面所成的角设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 θ，则sin θ＝|cos 〈 a ， n 〉 |＝
3．二面角(1)如图①，AB，CD 是二面角 αlβ 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈 AB ， CD 〉 ．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角 αlβ 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足|cos θ|＝|cos 〈 n 1， n 2〉 | ，二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角(或其补角)．[知识拓展]点到平面的距离如图所示，已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则 B 到平面 α 的距离为|BO|＝
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( )(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( )(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．( )[答案](1)× (2)× (3)× (4)√二、教材改编1．已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量和法向量，若 cos 〈m，n〉＝－，则 l 与 α 所成的角为( )A．30° B．60°C．120° D．150°A [由于 cos
