第 43 讲 空间向量及其运算考纲要求考情分析命题趋势1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．2．会推导空间两点间的距离公式.2017·全国卷Ⅲ，162016·山东卷，17空间直角坐标系、空间向量及其运算在高考中主要作为解题工具，解决直线、平面的平行、垂直位置关系的判定等问题.分值：3 分1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为__0__的向量0单位向量长度(模)为__1__的向量相等向量方向__相同__且模__相等__的向量a＝b相反向量方向__相反__且模__相等__的向量a 的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相__平行或重合__的向量a∥b共面向量平行于同一个__平面__的向量2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在实数 λ，使得__b ＝ λ a __.推论 如图所示，点 P 在 l 上的充要条件是OP＝OA＋ta.①其中 a 叫直线 l 的方向向量，t∈R，在 l 上取AB＝a，则①可化为OP＝OA＋tAB或OP＝__(1 － t ) OA ＋ t OB __.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝__x a ＋ y b __，其中 x，y∈R，a，b 为不共线向量，推论的表达式为MP＝xMA＋yMB或对空间向量任意一点 O，有OP＝__OM ＋ x MA ＋ y MB __或OP＝xOM＋yOA＋zOB，其中 x＋y＋z＝__1__.(3)空间向量基本定理如果向量 e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实 数 λ1 ， λ2 ， λ3 ， 使 得 a ＝ __λ1e1 ＋ λ 2e2 ＋ λ 3e3__ ， 空 间 中 不 共 面 的 三 个 向 量e1，e2，e3叫做这个空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念① 两向量的夹角已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 叫做向量 a 与b 的夹角，记作__〈 a ， b 〉 __，其范围是__0≤ 〈 a ， b 〉≤ π __，若〈a，b〉＝，则称 a 与b__互相垂直__，记作 a⊥b.② 两向量的数量积已知空间两个非零向量 a，b，则__| a || b |cos 〈 a ， b 〉 __叫做向量 a，b 的数量积，记作__a·b__，即 a·b＝__|a||b| cos 〈 a ， b 〉 __.(2)空间向量数量积的运算律① 结合律：(λa)·b＝__λ ( a·b ) __；② 交换律：a·b＝__b·a__；③ 分配律：a·(b＋c)＝__a·b ＋ a·c __.4．空间向量的坐标表示及其应用设 a＝(a1，a2，a3...
