第 44 讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直考纲要求考情分析命题趋势1.理解直线的方向向量与平面法向量的意义．2．能用向量语言表达直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系．3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).2016·山东卷，172016·浙江卷，172016·天津卷，17空间直角坐标系、空间向量及其运算在高考中主要作为解题工具，解决直线、平面的平行、垂直位置关系的判定等问题.分值：5～6 分1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一__非零__向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设 a，b 是平面 α 内两不共线向量，n 为平面 α的法向量，则求法向量的方程组为2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1∥l2(或 l1与 l2重合)⇔__v1∥ v 2__.(2)设直线 l 的方向向量为 v，与平面 α 共面的两个不共线向量 v1和 v2，则 l∥α 或l⊂α⇔__存在两个实数 x ， y ，使 v ＝ x v 1＋ y v 2__.(3)设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 u，则 l∥α 或 l⊂α⇔__v ⊥ u __.(4)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1，u2，则 α∥β⇔__u1∥ u 2__.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1⊥l2⇔__v1⊥ v 2__⇔__v1·v2＝ 0 __.(2)设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 u，则 l⊥α⇔__v ∥ u __.(3)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1和 u2，则 α⊥β⇔__u1⊥ u 2__⇔__u1·u2＝ 0 __.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)直线的方向向量是唯一确定的．( × )(2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( √ )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合．( √ )(4)若空间向量 a 平行于平面 α，则 a 所在直线与平面 α 平行．( × )2．已知 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面 ABC 法向量的是( C )A．(－1,1,1) B．(1，－1,1)C． D．解析 AB＝(－1,1,0)，AC＝(－1,0,1)，经计算得 C 符合题意．3．已知直线 l 的方向向量 v＝(1,2,3)，平面 α 的法向量为 u＝(5,2，－3)，则 l 与α 的位置关系是__l ∥ a 或 l ⊂ α __.解析 v＝(1,2,3)，u＝(5,2，－3)，1×5＋2×2＋3×(－...
