第 5 讲 椭圆基础知识整合1．椭圆的概念在平面内到两定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a>0，c>0，且 a，c 为常数：(1)若 a > c ，则集合 P 表示椭圆；(2)若 a ＝ c ，则集合 P 表示线段；(3)若 a < c ，则集合 P 为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形性质范围－ a ≤x≤a－ b ≤y≤b－ b ≤x≤b－ a ≤y≤a对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴 A1A2的长为 2 a ；短轴 B1B2的长为 2 b 焦距|F1F2|＝2 c 焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)离心率e＝∈(0,1)a，b，c 的关系c2＝a 2 － b 2 1．椭圆的焦点三角形椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)当 P 为短轴端点时，θ 最大．(2)S＝|PF1||PF2|sinθ＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b 时，即点 P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为 bc.(3)焦点三角形的周长为 2(a＋c)．(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.2．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长 lmin＝.3．AB 为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则(1)弦长 l＝|x1－x2|＝|y1－y2|；(2)直线 AB 的斜率 kAB＝－.1．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为 F1(－4,0)，则 m＝( )A．2B．3C．4D．9答案 B解析 由 4＝(m>0 )⇒m＝3，故选 B．2．若椭圆 x2＋my2＝1 的焦点在 y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为( )A．B．C．2D．4答案 A解析 将原方程变形为 x2＋＝1.由题意知 a2＝，b2＝1，∴a＝，b＝1.∴＝2，∴m＝.3．(2019·北京高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则( )A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2bD．3a＝4b答案 B解析 因为椭圆的离心率 e＝＝，所以 a2＝4c2.又 a2＝b2＋c2，所以 3a2＝4b2.故选 B．4．已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于，则椭圆 C 的方程是( )A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1答案 D解析 依题意，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，所以解得 a2＝9，b2＝8.故椭圆 C 的方程为＋＝1.5．(2019·西安模...
