第八节 概率与统计的综合问题[最新考纲] 能从研究对象中获取数据，会用数学方法对数据进行整理、分析和推断，构建模型等．考点 1 离散型随机变量的均值与方差 离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应． (2019·广州一模)某商场以分期付款方式销售某商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数 ξ 的分布列为ξ234P0.4ab其中 0＜a＜1,0＜b＜1.(1)求购买该商品的 3 位顾客中，恰有 2 位选择分 2 期付款的概率；(2)商场销售一件该商品，若顾客选择分 2 期付款，则商场获得的利润为 200 元；若顾客选择分 3 期付款，则商场获得的利润为 250 元；若顾客选择分 4 期付款，则商场获得的利润为300 元．商场销售两件该商品所获得的利润记为 X(单位：元)．① 求 X 的分布列；② 若 P(X≤500)≥0.8，求 X 的数学期望 EX 的最大值．[解] (1)设购买该商品的 3 位顾客中，选择分 2 期付款的人数为 η，依题意得 η～B(3,0.4)，则 P(η＝2)＝C(0.4)2×(1－0.4)＝0.288，∴购买该商品的 3 位顾客中，恰有 2 位选择分 2 期付款的概率为 0.288.(2)① 依题意 X 的取值分别为 400,450,500,550,600，P(X＝400)＝0.4×0.4＝0.16，P(X＝450)＝2×0.4a＝0.8a，P(X＝500)＝2×0.4b＋a2＝0.8b＋a2，P(X＝550)＝2ab，P(X＝600)＝b2.∴X 的分布列为：X400450500550600P0.160.8a0.8b＋a22abb2②P(X≤500)＝P(X＋400)＋P(X＝450)＋P(X＝500)＝0.16＋0.8(a＋b)＋a2，根据 0.4＋a＋b＝1，得 a＋b＝0.6，∴b＝0.6－a， P(X≤500)≥0.8，∴0.16＋0.48＋a2≥0.8，解得 a≥0.4 或 a≤－0.4， a＞0，∴a≥0.4， b＞0，∴0.6－a＞0，解得 a＜0.6，∴a∈[0.4,0.6)，1EX＝400×0.16＋450×0.8a＋500(0.8b＋a2)＋1 100ab＋600b2＝520－100a，当 a＝0.4 时，EX 的最大值为 480，∴X 的数学期望 EX 的最大值为 480. 本例融概率、分布列、函数于一体，体现了高考命题的最新动向，求解时可先借助分布列的性质及题设条件“P(X≤500) ≥0.8”探求得到参数 a 的范围，然后借助数学期望公式建立关于参数 ...
