高中含参不等式恒成立问题整理版

高中含参不等式恒成立问题整理版 高中数学不等式的恒成立问题 一、用一元二次方程根的判别式 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。 基本结论总结 例 1 对于 x∈R，不等式恒成立，求实数 m 的取值范围。 例 2：已知不等式对于Ｒ恒成立，求参数的取值范围． 解：要使对于Ｒ恒成立，则只须满足： （1） 或 （2） 解（1）得 ，解（2）＝２ ∴参数的取值范围是－２＜２． 练习 1. 已知函数的定义域为 R，求实数的取值范围。 2.若对于 x∈R，不等式恒成立，求实数 m 的取值范围。 3.若不等式的解集是 R，求 m 的范围。 4.取一切实数时，使恒有意义，求实数的取值范围． 例3．设，当时，恒成立，求实数的取值范围。 O x yx -1 关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。若二次不等式中的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 解：，则当时，恒成立 当时，显然成立； 当时，如图，恒成立的充要条件为： 解得。综上可得实数的取值范围为。 例 4 。已知，求使不等式对任意恒成立的 a 的取值范围。 解法 1：数形结合 结合函数的草图可知时恒成立 。所以 a 的取值范围是。 解法 2：转化为最值讨论 1. 若上的最大值。 2. 若，得，所以。 综上：a 的取值范围是。 注：1. 此处是对参 a 进行分类讨论，每一类中求得的 a 的范围均合题意，故对每一类中所求得的 a 的范围求并集。 2. 恒成立； 解法 3：分离参数 。设， 注：1. 运用此法最终仍归结为求函数的最值，但由于将参数 a 与变量 x 分离，因此在求最值时避开了分类讨论，使问题相对简化。 2. 本题若将“”改为“”可类似上述三种方法完成。 仿解法 1：即 读者可仿解法 2，解法 3 类似完成，但应注意等号问题，即此处也合题。 例 5. 已知：求使恒成立的 a 的取值范围。 解法 1：数形结合结合的草图可得： 或得：。 解法 2：转化为最值讨论 1. ，所以。 2. 若矛盾。 3. 若矛盾。综上：a 的取值范围是。 解法 3：分离参数 1. 时，不等式显然成立，即此时 a 可为任意实数； 2. 时，。因为上单调递减，所以； 3. 时，。因为在（0，1）上单调递减，所以 。综上：a 的范围是：。 注：本题中由于 x 的取值可正...