阶段通关训练(二)(60 分钟 100 分)一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)1.(2025·沈阳高一检测)在△ABC 中,=c,=b.若点 D 满足=2,则= ( )A. b+ cB. c- bC. b- cD. b+ c【解析】选 A.因为由-=2(-),所以 3=+2=c+2b,所以= c+ b.2.(2025·北京高一检测)在四边形 ABCD 中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,其中 a,b 不共线,则四边形ABCD 为( )A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形【解析】选 C.因为=++=-8a-2b=2,所以四边形 ABCD 为梯形.3.(2025·大连高一检测)若向量 a=(2,0),b=(1,1),则下列结论正确的是( )A.a·b=1B.|a|=|b|C.(a-b)⊥bD.a∥b【解析】选 C.a·b=2,所以 A 不正确;|a|=2,|b|=,则|a|≠|b|,所以 B 不正确;a-b=(1,-1),(a-b)·b=(1,-1)·(1,1)=0,所以(a-b)⊥b,所以 C 正确;由于 2×1-0×1≠0,所以 a,b 不平行,所以 D 不正确.4.(2025·杭州高一检测)设向量 a 与 b 满足|a|=2,b 在 a 方向上的投影为 1,若存在实数 λ,使得 a 与 a-λb 垂直,则 λ=( )A.B.1C.2D.3【解题指南】先根据 b 在 a 方向上的投影求出 a·b,再根据 a·(a-λb)=0 求 λ 的值.【解析】选 C.由题意知=1,则 a·b=2.由 a⊥(a-λb)得 a·(a-λb)=0,即 a2-λa·b=0,即 4-2λ=0,解得 λ=2.5.在菱形 ABCD 中,若 AC=2,则·等于( )A.2B.-2C.||cosAD.与菱形的边长有关【解析】选 B.如图,设对角线 AC 与 BD 交于点 O,所以=+.·=·(+)=-2+0=-2.6.设 0≤θ≤2π,已知两个向量=(cosθ,sinθ),=(2+sinθ,2-cosθ),则向量长度的最大值是( )A.B.C.3D.2【解析】选 C.因为=-=(2+sinθ-cosθ,2-cosθ-sinθ),所以||==≤3.二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)7.如图,在平行四边形 ABCD 中,=a,=b,=3,则= (用 a,b 表示).【解析】因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以=+=a+b,因为=3,所以== (a+b),所以=-= (a+b)-a=- a+ b.答案:- a+ b8.已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ,有下列说法:①|a+b|>1θ∈⇔;②|a+b|>1θ∈⇔;③|a-b|>1θ∈⇔;④|a-b|>1θ∈⇔.其中正确的说法是 (填序号).【解析】若|a+b|>1 则(a+b)2>1,即 a2+2a·b+b2>1,|a|2+2|a||b|cosθ+|b|2>1.因为|a|=|b|=1,所以 12+2×1×1×cosθ+12>1,所以 cosθ>- .又 θ∈[0,π],所以 θ∈,① 正确,② 错误;若|a-b|>1,则(a-b)2>1,即 a2-2a·b+b2>1.所以 12-2×1×1×cosθ+12>1,所以 cosθ< .又 θ∈[0,π],所以 θ∈,故③错误,④...
