2025年初中数学竞赛精品标准教程及练习观察法

初中数学竞赛精品标准教程及练习（58）观测法一、内容提纲数学题可以猜想它的结论（涉及经验归纳法），但都要通过严谨的论证，才能拟定是否对的.观测是思维的起点，直觉是对的思维的基础.观测法解题就是用清楚的概念，直觉的思维，根据题型的特点，得出题解或猜想其结论，再加以论证.敏锐的洞察力来自对概念明晰的理解和纯熟的掌握.例如：用观测法写出方程的解，必须明确方程的解的定义，掌握方程的解与方程的系数这间的关系. 一元方程各系数的和等于零时，必有一个解是 1；而奇次项系数的和等于偶次项系数的和时，则有一个根是－1；n 次方程有 n 个根，这样才能推断是否已求出所有的根，当根的个数超过方程次数时，可鉴定它是恒等式.对题型的特点的观测一般是注意已知数据，式子或图形的特性，分析题设与结论，已知与未知这间的联系，再联想学过的定理，公式，类比所做过的题型，实验以简朴的特例推导一般的结论，并探求特别的解法.选择题和填空题可不写解题环节，用观测法解答更能显出优势.二、例题例 1. 解方程：x+=a+.解：方程去分母后，是二次的整式方程，所以最多只有两个实数根.根据方程解的定义，易知 x=a；或 x=.观测本题的特点是：左边 x, 右边 a. （常数 1 相同）.可推广到：若方程 f(x)+（am≠0）， 则 f(x)=a； f(x)=.如：方程 x2+, x2+3x－ ( 8=10－).都可以用上述方法解.例 2. 分解因式 a3+b3+c3－3abc.分析：观测题目的特点，它是 a, b, c 的齐三次对称式.若有一次因式，最也许的是 a+b+c；若有因式 a+b－c,必有 b+c－a, c+a－b；若有因式 a+b, 必有 b+c, c+a； 若有因式 b－c,必有 c－a, a－b.解： 用 a=－b－c 代入原式的值为零， ∴有因式 a+b+c.故可设 a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)[m(a2+b2+c2)+n(ab+bc+ca)].比较左右两边 a3的系数，得 m=1, 比较 abc 的系数， 得 n=－1.∴a3+b3+c3－3abc=(a+b+c) (a2+b2+c2－ab－bc－ca)例 3. 解方程. 分析：观测题目的特点猜想用自身迭代验证： x=.解： x=， 可化为 x－2－x－3=0, ∴ x=. 经检查是增根. ∴原方程只有一个实数根 x=. 例 4. 求证：.证明：把等式看作是关于 x 的二次方程，最多只有两个实数根；但 x=a, x=b, x=c，都能使等式成立，且知 a≠b≠c，这样，方程 就有三个解； 方程的解的个数，超过了方程的次数.∴原等式是恒等式. 证毕.例 5. 选择题 (只有一个对的的答案) 1. 四边形 ABCD 内...