2025年选修空间向量知识点归纳

第三章 空间向量与立体几何1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表达 同向等长的有向线段表达同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表达。2. 空间向量的运算。定义：与平面对量运算同样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 ;;运算律：⑴加法互换律：⑵ 加法结合律：⑶ 数乘分派律：3. 共线向量。（1）假如表达空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。当我们说向量、共线（或//）时，表达、的有向线段所在的直线也许是同一直线，也也许是平行直线。（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数 λ，使＝λ。 4. 共面对量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面对量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面对量定理：假如两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。5. 空间向量基本定理：假如三个向量不共面，那么对空间任历来量，存在一个唯一的有序实数组，使。若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。 6.空间两向量的夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点 O，作，（两个向量的起点一定要相同），则叫做向量与的夹角，记作，且。7. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。(2) 右手直角坐标系：右手握住 z 轴，当右手的四指从正向 x 轴以 90°角度转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是 z 轴的正向；（3）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 ，这个基底叫单位正交基底，用表达。（4）空间向量的直角坐标运算律：① 若，，则，，， ，或。② 若，，则。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表达这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（5）模长公式：若，，则，（6）夹角公式：。（7）两点间的距离公式：若，，则，或 （ 8 ） 空 间 线 段的 中 点的 坐 标 ：（9）球面方程：8. 空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表达：已知两非零向量，在空间任取一点...