数学归纳法典型例题 【典型例题】 例 1、 用数学归纳法证明：时,。解析:① 当时,左边，右边，左边=右边,所以等式成立。② 假设时等式成立,即有,则当时,所以当时,等式也成立。由①,② 可知，对一切等式都成立。点评：(1）用数学归纳法证明与自然数有关得一些等式，命题关键在于“先看项”,弄清等式两边得构成规律，等式得两边各有多少项，项得多少与 n得取值是否有关，由到时等式得两边会增加多少项,增加怎样得项。（２）在本例证明过程中,（I）考虑“n 取第一个值得命题形式”时，需仔细对待,一般情况是把第一个值代入通项，考察命题得真假,(II)步骤②在由到得递推过程中,必须用归纳假设,不用归纳假设得证明就不是数学归纳法。本题证明时若利用数列求和中得拆项相消法,即,则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法得一种伪证。(3)在步骤②得证明过程中,突出了两个凑字,一“凑”假设,二“凑”结论,关键是明确时证明得目标,充分考虑由到时，命题形式之间得区别和联系。 例 2、 。解析:(1)当时,左边，右边,命题成立。(２）假设当时命题成立,即那么当时，左边上式表明当时命题也成立。由（1）(2）知，命题对一切正整数均成立。 例 3、 用数学归纳法证明:对一切大于 1 得自然数 n，不等式成立。解析：①当时，左=,右，左>右，∴不等式成立。② 假设时，不等式成立，即那么当时，∴时,不等式也成立。由①，②知,对一切大于 1 得自然数 n,不等式都成立。点评：(1）本题证明命题成立时,利用归纳假设,并对比目标式进行了恰当得缩小来实现,也可以用上归纳假设后，证明不等式成立。（2)应用数学归纳法证明与非零自然数有关得命题时要注意两个步骤缺一不可,第①步成立是推理得基础，第②步是推理得依据（即成立，则成立,成立，……,从而断定命题对所有得自然数均成立)。另一方面，第①步中，验证中得未必是１，根据题目要求，有时可为 2，3 等;第②步中,证明时命题也成立得过程中，要作适当得变形,设法用上归纳假设。 例 4、 若不等式对一切正整数ｎ都成立,求正整数ａ得最大值,并证明您得结论。解析：取，。令，得，而，所以取，下面用数学归纳法证明,(1)时，已证结论正确（2)假设时，则当时，有因为，所以，所以,即时,结论也成立，由(１）(2）可知,对一切，都有，故 a 得最大值为 25。 例 5、 用数学归纳法证明:能被 9 整除。解析:方法一:令，（1）能被 9 整除。（２）假设能被９整除,则∴能被 9 整除。由(1)（2)知，对一...
