函数对称性、周期性和奇偶性规律总结

函数对称性、周期性与奇偶性 关岭民中数学组（一）、同一函数得函数得奇偶性与对称性：(奇偶性就是一种特别得对称性）１、奇偶性：(1) 奇函数关于(０，０）对称，奇函数有关系式(2）偶函数关于ｙ（即ｘ=0）轴对称，偶函数有关系式 2、奇偶性得拓展 ： 同一函数得对称性 (１）函数得轴对称：函数关于对称也可以写成 或 若写成：,则函数关于直线 对称 证明:设点在上，通过可知,，即点上，而点与点关于 x＝a 对称。得证.说明:关于对称要求横坐标之与为,纵坐标相等。 关于对称，∴函数关于对称 关于对称,∴函数关于对称 关于对称,∴函数关于对称(2)函数得点对称：函数关于点对称 或 若写成：，函数关于点 对称 证明:设点在上，即，通过可知,,所以,所以点也在上,而点与关于对称得证。 说明: 关于点对称要求横坐标之与为,纵坐标之与为,如 之与为 。(3)函数关于点对称：假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个 y 值与其对应,显然这不符合函数得定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c（x，y）=0,则有可能会出现关于对称，比如圆它会关于ｙ=0 对称。(４）复合函数得奇偶性得性质定理：性质 1、复数函数 y=f[ｇ（x）］为偶函数，则 f[g(－ｘ）］＝f［g(x）]. 复合函数 y＝f[g（x)］为奇函数,则 f［ｇ（－x)］=－ｆ［g(x）］。性质 2、复合函数 y=f(x+ａ)为偶函数，则 f(x＋a)=f（－x+ａ)； 复合函数 y=f（x+a)为奇函数，则 f（-x＋a）＝-f（a+x）。性质 3、复合函数 y=f（x＋a）为偶函数,则 y＝f（x）关于直线 x=ａ轴对称。 复合函数 y=ｆ（x＋ａ)为奇函数，则 y＝f（x）关于点(a,０）中心对称。总结：x 得系数一个为 1，一个为—1，相加除以 2,可得对称轴方程总结:x 得系数一个为 1,一个为-1，f（x）整理成两边,其中一个得系数就是为1，另一个为-1，存在对称中心.总结:x 得系数同为为１,具有周期性.(二）、两个函数得图象对称性1、与关于 X 轴对称.证明:设上任一点为 则，所以经过点 与关于 X 轴对称，∴与关于 X 轴对称、注：换种说法：与若满足,即它们关于对称。2、与关于 Y 轴对称。证明：设上任一点为则，所以经过点 与关于Ｙ轴对称,∴与关于 Y 轴对称。注：因为代入得所以经过点换种说法:与若满足，即它们关于对称. 3、与关于直线 对称.证明：设上任一点为则，所以经过点 与关于轴对称，∴与关于直线 对称。注:换种说法：与若满足,即它们关于对称。4、与关于直...