第 2 讲 三角函数的图象与性质 考点 1 三角函数的定义、诱导公式及基本关系1．三角函数：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.3．诱导公式：在＋α，k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．[例 1] (1)[2018·全国卷Ⅰ]已知角 α 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A(1，a)，B(2，b)，且 cos 2α＝，则|a－b|＝( )A. B.C. D．1(2)[2019·山东潍坊一中月考]化简得( )A．sin 2＋cos 2 B．cos 2－sin 2C．sin 2－cos 2 D．±cos 2－sin 2【解析】 (1)由 cos 2α＝，得 cos2α－sin2α＝，∴ ＝，即＝，∴ tan α＝±，即＝±，∴ |a－b|＝.故选 B.(2)＝＝＝＝|sin 2－cos 2|，又<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0，∴＝sin 2－cos 2，故选 C.【答案】 (1)B (2)C应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.『对接训练』1．[2019·湖北稳派教育检测]若一个扇形的面积是 2π，半径是 2，则这个扇形的圆心角为( )A. B.C. D.解析：设扇形的半径为 r，圆心角为 θ，则扇形的面积 S＝lr，其中弧长 l＝θr，则 S＝θr2，所以 θ＝＝＝，故选 D.答案：D2．[2019·河北行唐月考]已知 tan x＝，则 sin xcos x＝( )A. B.C. D.解析：通解 tan x＝，∴＝，即 cos x＝3sin x，又 sin2x＋cos2x＝1，∴sin2x＝.①当 x 为第一象限角时，sin x＝，cos x＝，∴sin xcos x＝；②当 x 为第三象限角时，sin x＝－，cos x＝－，∴sin xcos x＝.由①②得 sin xcos x＝，故选 C.优解一 tan x＝，∴＝，即 cos x＝3 sin x，又 sin2x＋cos2x＝1，∴sin2x＝，又 1＋2sin xcos x＝(sin x＋cos x)2＝16sin2x，∴sin x·cos x＝＝＝，故选 C.优解二 tan x＝>0，∴sin x 与 cos x 同号，∴sin xcos x>0，不妨设 x 是第一象限角，且角 x 终边上一点的坐标为(3,1)，∴sin x＝，cos x＝，∴sin xcos x＝...
