第 3 讲 空间向量与立体几何 考点 1 向量法证明平行与垂直设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)．平面 α，β 的法向量分别为 u＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)．(1)线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝kv⇔a2＝ka3，b2＝kb3，c2＝kc3.(4)面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.[例 1] [2019·甘肃兰州质检]在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点 E 在线段 BB1上，且 EB1＝1，D，F，G 分别为 CC1，C1B1，C1A1的中点. 求证：(1)B1D⊥平面 ABD；(2)平面 EGF∥平面 ABD.【证明】 (1)以 B 为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 B－xyz，如图所示，则 B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设 BA＝a，则 A(a,0,0)，所以BA＝(a,0,0)，BD＝(0,2,2)，B1D＝(0,2，－2)，B1D·BA＝0，B1D·BD＝0＋4－4＝0，即 B1D⊥BA，B1D⊥BD.又 BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面 ABD，因此 B1D⊥平面 ABD.(2)由(1)知，E(0,0,3)，G，F(0,1,4)，则EG＝，EF＝(0,1,1)，B1D·EG＝0＋2－2＝0，B1D·EF＝0＋2－2＝0，即 B1D⊥EG，B1D⊥EF.又 EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面 EGF，因此 B1D⊥平面 EGF.结合(1)可知平面 EGF∥平面 ABD.利用空间向量证明平行与垂直的步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系；(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线 、平面中的要素；(3)通过空间向量的运算研究平行、垂直关系；(4)根据运算结果解释相关问题.『对接训练』1．[2018·山东聊城模拟]如图，在直三棱柱 ADE－BCF 中，面 ABFE 和面 ABCD 都是正方形且互相垂直，M 为 AB 的中点，O 为 DF 的中点，运用向量方法证明：(1)OM∥平面 BCF；(2)平面 MDF⊥平面 EFCD.证明：由题意，得 AB，AD，AE 两两垂直，以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.设正方形边长为 1，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M，O.(1)OM＝，BA＝(－1,0,0)，所以OM·BA＝0，所以OM⊥BA.因为棱柱 ADE－BCF 是直三棱柱，所以 AB⊥平面 BCF，所以BA是平面 BCF 的一个法向量，且 OM⊄平面 BCF，所以 OM∥平面 BCF.(2)设平面 MDF 与平面 EFCD 的一个法向...
