高考数学大二轮复习 7.4 算法初步、复数、推理与证明学案 理-人教版高三全册数学学案

第 4 讲 算法初步、复数、推理与证明 考点 1 复数1．复数的除法复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简．2．复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.[例 1] (1)[2019·全国卷Ⅱ]设 z＝－3＋2i，则在复平面内z对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)[2019·全国卷Ⅰ]设复数 z 满足|z－i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则( )A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1【解析】 (1)本题主要考查共轭复数及复数的几何意义，意在考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．由题意，得z＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选 C.(2)本题主要考查复数的模的概念和复数的几何意义，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．通解 z 在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)． |z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选 C.优解一 |z－i|＝1 表示复数 z 在复平面内对应的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选 C.优解二 在复平面内，点(1,1)所对应的复数 z＝1＋i 满足|z－i|＝1，但点(1,1)不在选项 A，D 的圆上，∴排除 A，D；在复平面内，点(0,2)所对应的复数 z＝2i 满足|z－i|＝1，但点(0,2)不在选项 B 的圆上，∴排除 B.故选 C.【答案】 (1)C (2)C复数运算问题的解题思路 (1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是先变形分离出实部和虚部，把复数的非代数形式化为代数形式，然后再根据条件，列方程(组)求解．(2)与复数 z 的模|z| 和共轭复数有关的问题，一般都要先设出复数 z 的代数形式 z＝a＋bi(a，b∈R)，代入条件，用待定系数法解决.『对接训练』1．[2019·河南郑州一测]若复数 z 满足(3＋4i)z＝25i，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部是( )A．3i B．－3iC．3 D．－3解析：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝3a－4b＋(3b＋4a)i，由复数相等的充要条件得到 3a－4b＝0,3b＋4a＝25，解得 b＝3，故选 C.答案：C2．[2019·吉林长春外国语学校测评]设 i 为虚数单位，若复数 z 满足 z＝，则...