第 2 讲 三角恒等变换与解三角形[考情考向·高考导航]1．三角恒等变换是高考必考内容，可以单独命题，也可以与三角函数图象和性质综合，有时与解三角形综合．难度一般不大，单独命题多以选择题、填空题的形式出现，有时与其他知识综合，以解答题的形式出现．2．解三角形主要考查正、余弦定理、面积的综合问题，有时也涉及三角恒等变换，难度中等．单独考查以选择题、填空题为主，综合考查以解答题为主．[真题体验]1．(2019·全国Ⅱ卷)已知 α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则 sin α＝( )A. B.C. D.解析：B [ α∈，由 2sin 2α＝cos 2α＋1 得：4sin αcos α＝2cos2 α，∴2sin α＝cos α，∴2sin α＝，∴5sin2 α＝1，∴sin2 α＝，∴sin α＝.]2．(2019·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝( )A．6 B．5C．4 D．3解析：A [ asin A－bsin B＝4csin C，∴a2－b2＝4c2， cos A＝－，∴＝－，即＝－，∴＝4×＝6.]3．(2019·天津卷)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b＋c＝2a,3csin B＝4asin C.(1)求 cos B 的值；(2)求 sin 的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理＝，得 bsin C＝csin B，又由 3csin B＝4asin C，得 3bsin C＝4asin C，即 3b＝4a.又因为 b＋c＝2a，得到 b＝a，c＝a，由余弦定理可得 cos B＝＝＝－.(2)由(1)可得 sin B＝＝，从而 sin 2B＝2sin Bcos B＝－，cos 2B＝cos2B－sin2B＝－，故 sin＝sin 2Bcos＋cos 2Bsin＝－×－×＝－.[主干整合]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan 2α＝.3．辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中 tan φ＝.14．正弦定理及其变形在△ABC 中，＝＝＝2R(R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.5．余弦定理及其变形在△ABC 中，a2＝b2＋c2－2bccos A；变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.6．三角形面积公式S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.热点一 ...
