第 3 讲 导数的简单应用[考情考向·高考导航]1．此部分内容是高考命题的热点内容．在选择题、填空题中多考查导数的几何意义，难度较小．2．应用导数研究函数的单调性、极值、最值，多在选择题、填空题最后几题的位置考查，难度属中等偏上，属综合性问题．有时也常在解答题的第一问中考查，难度中档．[真题体验]1．(2019·全国Ⅱ卷)曲线 y＝2sin x＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0解析：C [ y′＝2cos x－sin x，∴切线斜率 k＝2cos π－sin π＝－2，∴在点(π，－1)处的切线方程为 y＋1＝－2(x－π)，即 2x＋y－2π＋1＝0.]2．(全国Ⅱ卷)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则 f(x)的极小值为( )A．－1 B．－2e－3C．5e－3 D．1解析：A [f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，则 f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0⇒a＝－1，则 f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，令 f′(x)＝0，得 x＝－2 或 x＝1，当 x＜－2 或 x＞1 时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1 时，f′(x)＜0，则 f(x)极小值为 f(1)＝－1.]3．(2018·天津卷)已知函数 f(x)＝exln x，f′(x)为 f(x)的导函数，则 f′(1)的值为________．解析：由函数的解析式可得：f′(x)＝ex×ln x＋ex×＝ex(ln x＋)，则：f′(1)＝e1×(ln 1＋)＝e.即 f′(1)的值为 e.答案：e4．(2019·天津卷)已知 a∈R，设函数 f(x)＝若关于 x 的不等式 f(x)≥0 在 R 上恒成立，则a 的取值范围为( )A．[0,1] B．[0,2]C．[0，e] D．[1，e]解析：C [首先 f(0)≥0，即 a≥0，当 0≤a≤1 时，f(x)＝x2－2ax＋2a＝(x－a)2＋2a－a2≥2a－a2＝a(2－a)＞0，当 a＜1 时，f(1)＝1＞0，故当 a≥0 时，x2－2ax＋2a≥0 在(－∞，1]上恒成立；若 x－aln x≥0 在(1，＋∞)上恒成立，即 a≤在(1，＋∞)上恒成立，令 g(x)＝，则 g′(x)＝，易知 x＝e 为函数 g(x)在(1，＋∞)唯一的极小值点、也是最小值点，故 g(x)max＝g(e)＝e，所以 a≤e.综上可知，a 的取值范围是[0，e]．故选 C.]1[主干整合]1．导数的几何意义函数 y＝f(x)在点 x＝x0处的导数值就是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数与函数单调性的关系(1)f′(x)＞0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件，...
