第 4 讲 导数的综合应用与热点问题[考情考向·高考导航]导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题，是高考的热点和难点．解答题的热点题型有：(1)利用导数证明不等式或探讨方程的根．(2)利用导数求解参数的范围或值．[真题体验]1．(2018·全国Ⅲ卷)已知函数 f(x)＝.(1)求曲线 y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程；(2)证明：当 a≥1 时，f(x)＋e≥0.解析：(1)由题意：f(x)＝得 f′(x)＝＝；∴f′(0)＝＝2；即曲线 y＝f(x)在点(0，－1)处的切线斜率为 2，∴y－(－1)＝2(x－0)，即 2x－y－1＝0.(2)当 a≥1 时，f(x)＋e≥，令 g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则 g′(x)＝2x＋1＋ex＋1，当 x＜－1 时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；当 x＞－1 时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．所以 g(x)≥g(－1)＝0.因此当 a≥1，f(x)＋e≥0.2．(2019·全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．证明：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)f′(x)＝＋ln x－1＝ln x－，因为 y＝ln x 单调递增，y＝单调递减，所以 f′(x)单调递增，又 f′(1)＝－1＜0，f′(2)＝ln 2－＝＞0，故存在唯一 x0∈(1,2)，使得 f′(x0)＝0.又当 x＜x0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当 x＞x0时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，因此 ，f(x)存在唯一的极值点．(2)由(1)知 f(x0)＜f(1)＝－2，又 f(e2)＝e2－3＞0，所以 f(x)＝0 在(x0，＋∞)内存在唯一根 x＝a.由 α＞x0＞1 得＜1＜x0.又 f＝ln－－1＝＝0，故是 f(x)＝0 在(0，x0)的唯一根．综上，f(x)＝0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．[主干整合]1．常见构造辅助函数的四种方法(1)直接构造法：证明不等式 f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))的问题转化为证明 f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数 h(x)＝f(x)－g(x)．(2)构造“形似”函数：稍作变形后构造．对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．1(3)适当放缩后再构造：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数．(4)构造双函数：若直接构造函数求导，难以判断符号，导数的零点也不易求得，因此单调性和极值点都不易获得，从而构造 f(x)和 g(x)，利用其最...
