二、综合性——着眼题型 凸显能力数学文化 三角与向量 解析几何与向量 函数与不等式 概率与实际应用 直线与圆锥曲线试题的综合性是高考试题的重中之重，其主要特征是多知识点的交汇，条件和结论由紧密相关的知识构成，是知识网的具体体现，该类问题多呈现在向量与三角、向量与解析几何、概率与应用、直线与圆锥曲线、函数与不等式、数列与方程或函数、平面几何与立体几何等等．解答此类问题必须注意以下三点：(1)理清知识体系；(2)建立知识网络关系；(3)注重目标的达成．综合性命题目标真题回顾素养清单数学文化数学文化与几何概型，圆与三角形面积和运算求解能力1.[2018·全国卷Ⅰ]如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC.△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p1，p2，p3，则( )A.p1＝p2 B．p1＝p3 C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3解析：解法一 设直角三角形 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为 S1＝bc，区域Ⅱ的面积 S2＝π×2＋π×2－＝π·(c2＋b2－a2)＋bc＝bc，所以 S1＝S2，由几何概型的知识知 p1＝p2.故选 A.解法二 不妨设△ABC 为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则 BC＝2，所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S1＝×2×2＝2，区域Ⅱ的面积 S2＝π×12－＝2，区域Ⅲ的面积 S3＝－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式，得 p1＝p2＝，p3＝，所以 p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选 A.答案：A [数学建模][数学抽象][数据分析]数学文化及考生的运算求解2.[2019·全国卷Ⅱ]中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状[直观想象]能力、空间想象能力是“半正多面体”(图 1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后 6 个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由 18 个正方形，8 个正三角形组成，因此题中的半正多面...
