第 2 课时 导数与函数的极值、最值题型一 用导数求解函数极值问题命题点 1 根据函数图像判断极值典例 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1)C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2)D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)答案 D解析 由题图可知，当 x<－2 时，f′(x)>0；当－2
2 时，f′(x)>0.由此可以得到函数 f(x)在 x＝－2 处取得极大值，在 x＝2 处取得极小值．命题点 2 求函数的极值典例 (2018·深圳调研)设函数 f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中 a∈R.讨论函数 f(x)极值点的个数，并说明理由．解 f′(x)＝＋a(2x－1)＝ (x>－1)．令 g(x)＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞)．① 当 a＝0 时，g(x)＝1，此时 f′(x)>0，函数 f(x)在(－1，＋∞)上是增加的，无极值点．② 当 a>0 时，Δ＝a2－8a(1－a)＝a(9a－8)．a．当 0时，Δ>0，设方程 2ax2＋ax－a＋1＝0 的两根为 x1，x2(x1－.由 g(－1)＝1>0，可得－10，f′(x)>0，函数 f(x)是增加的；当 x∈(x1，x2)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数 f(x)是减少的；当 x∈(x2，＋∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数 f(x)是增加的．因此函数有两个极值点．③ 当 a<0 时，Δ>0，由 g(－1)＝1>0，可得 x1<－10，f′(x)>0，函数 f(x)是增加的；当 x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数 f(x)是减少的．所以函数有一个极值点．综上所述，当 a<0 时，函数 f(x)有一个极值点；当 0≤a≤时，函数 f(x)无极值点；当 a>时，函数 f(x)有两个极值点．命题点 3 根据极值求参数典例 (1)(2017·沧州模拟)若函数 f(x)＝x3－2cx2＋x 有极值点，则实数 c 的取值范围为________________．答案 ∪解析 f′(x)＝3x2－4cx＋1，由 f′(x)＝0 有两个不同的根，可得 Δ＝(－4c)2－12>0，∴c>或 c<－.(2)若函数 f(x)＝－x2＋x＋1 在区间上有极值点，则实数 a 的取值范围是( )A. B.C. D.答案 C解析 函数 f(x...
